ল.সা.গু কাকে বলে | লসাগু কাকে বলে
ইংরেজি ভাষায় ল. সা. গু কে least common multiple, lowest common multiple অথবা সংক্ষপে LCM বলা হয়।
ল.সা.গুঃ দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলির মধ্যে যে গুণিতকটি ক্ষুদ্রতম, তাকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলির ল.সা.গু. বা লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বলে।
যেমনঃ ১০, ২০, ৩০ তিনটি সংখ্যাই ২, ৫ ও ১০ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যা ৩টির ল.সা.গু ২।
গ.সা.গু কাকে বলে | গসাগু কাকে বলে
ইংরেজি ভাষায় গ. সা. গু. কে বলা হয় “Greatest Common Divisor or Highest Common Factor” বা (GCD or HCF)।
গ.সা.গুঃ কয়েকটি সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদকগুলির মধ্যে যেটি গরিষ্ট(বড়ো), তাকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. বা গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বলে।
যেমনঃ ১০, ২০, ৩০ তিনটি সংখ্যাই ২, ৫ ও ১০ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যা ৩টির গ.সা.গু ১০।
সূত্র গুলো দেখা যাক:-
সূত্রাবলি: –
(1) দুটি সংখ্যার গুণফল= সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. ×গ.সা.গু. ।
(2) সংখ্যা দুটির ল.সা.গু= সংখ্যা দুটির গুণফল÷ গ.সা.গু.।
(3) সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = সংখ্যা দুটির গুণফল ÷ ল.সা.গু. ।
(4) একাধিক ভগ্নাংশের ল.সা.গু.= (লবগুলির ল.সা.গু.)÷(হরগুলির গ.সা.গু)
(5) একাধিক ভগ্নাংশের গ.সা.গু.= (লবগুলির গ.সা.গু.)÷(হরগুলির ল.সা.গু)
(6) যে কোন তিনটি সংখ্যা x,y ও z যে বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য সেটি হল x,y ও z -এর গ.সা.গু.
(7) যে কোন তিনটি সংখ্যা x,y ও z দ্বারা যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিভাজ্য সেটি হল x,y ও z -এর ল.সা.গু. ।
(8) যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা, যাকে যে-কোনো তিনটি সংখ্যা x, y এবং z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় যথাক্রমে a, b এবং c সেটি হল= (x,y ও z-এর লসাগু)-K ,যেখানে K=x-a=y-b=z-c.
(9) যে বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা যে-কোনো তিনটি সংখ্যা x, y এবং z কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ a থাকে , সেটি হল=(x-a),(y-a) ও(z-a) -এর গসাগু।
(10) যে বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা x, y এবং z তিনটি সংখ্যা ভাগ করলে যথাক্রমে a, b ও c ভাগশেষ থাকে, সেটি হল=(x-a),(y-b) ও (z-c) এর গসাগু।
(11) যে বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা a, b ও c -কে ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকবে, সেটি হল=(b-a) ও (c-b) -এর গসাগু।
গসাগু এর ক্ষেত্রে,
শর্টকাট নিয়ম ১ঃ
দুইটি সংখ্যা থাকলে, তাদের গ.সা.গু বের করার জন্য প্রথমে ছোট সংখ্যা দিয়ে বড়টিকে ভাগ করতে হবে এবং প্রাপ্ত ভাগশেষ দিয়ে ছোট সংখ্যাটি ভাগ করতে হবে ; যদি এরপর আর ভাগশেষ না থাকে তাহলে প্রথম ভাগশেষটি হবে উত্তর।
যেমনঃ ১২ ও ১৮ এর গ.সা.গু কত? উত্তরঃ ৬
১২)১৮(১
১২
৬)১২(২
১২
০
অঙ্কটিতে দেখা যাচ্ছে, প্রথমে ১২ দিয়ে ১৮ কে ভাগ করার পর ভাগশেষ থাকে ৬ । নিয়ম অনুযায়ী এই ভাগশেষ দিয়ে ছোট সংখ্যা টিকে ভাগ করলে আর কোনো ভাগশেষ যেহেতু পাওয়া যায় নি । তাই ভাগশেষ ৬ ই হবে ১২ ও ১৮ এর গসাগু ।
শর্টকাট নিয়ম ২ঃ
দুইয়ের অধিক সংখ্যা থাকলে –
প্রথমে সবথেকে ছোট সংখ্যাটি দ্বারা তার থেকে বড় সংখ্যাটিকে ভাগ করে গ.সা.গু বের করতে হবে। শেষে ঐ সংখ্যাটি দিয়ে সবথেকে বড় সংখ্যাটিকে ভাগ করলে যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ যাবে তাই উত্তর।
উদাহরণঃ ২৪,৪৮ ও ৭২ এর গসাগু কত ?
নিয়ম অনুযায়ী প্রথমে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা ২৪ দ্বারা তার থেকে বড় সংখ্যা ৪৮ কে ভাগ করে গসাগু বের করতে হবে শর্টকাট নিয়ম ১ এর মত করে ।
৪৮ কে ২৪ দ্বারা ভাগ করলে যেহেতু কোনো ভাগশেষ থাকে না । তাই ২৪ ই হচ্ছে ২৪ ও ৪৮ এর গসাগু।
এরপর নিয়ম অনুযায়ী ২৪ ও ৪৮ এর গসাগু ২৪ দ্বারা সবথেকে বড় সংখ্যা ৭২ কে ভাগ করতে হবে শর্টকাট নিয়ম ১ এর মত করেই ।
দেখা যাচ্ছে ২৪ দ্বারা ৭২ কে নিঃশেষে ভাগ করা যায় ।
সুতরাং ২৪ ই হচ্ছে ২৪,৪৮ ও ৭২ এর গসাগু ।
অঙ্ক ১ঃ
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৪,৪৮,৭২ কে ভাগ করা যায়? উঃ ২৪
যা মনে রাখতে হবেঃ বৃহত্তম বা largest কথাটি প্রশ্নে থাকলে গ.সা.গু করতে হবে।
সমাধানঃ যেহেতু অঙ্কে বৃহত্তম কথা আছে তাই গসাগু করব ।
লিখিতঃ.
২৪ এর গুননীয়ক গুলো হলঃ ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪
৪৮ এর গুননীয়ক গুলো হলঃ ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,১৬,২৪,৪৮
৭২ এর গুননীয়ক গুলো হলঃ ১,২,৩,৪,৬,৮,৯,১২,১৮,২৪,৩৬,৭২
২৪, ৪৮ ও ৭২ এর সাধারণ গুননীয়কগুলো হল ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪
(আমরা জানি, গসাগু সেটাই , সাধারণ গুননীয়কগুলোর মধ্যে যেটা সবথেকে বড় ।)
সুত্রাং ২৪, ৪৮ এবং ৭২ এর গসাগু ২৪ ।
শর্টকাট নিয়মঃ শর্টকাট নিয়ম ২ এ দেয়া আছে ।
লসাগু এর ক্ষেত্রেঃ
অঙ্ক ২ঃ
কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২৪,৪৮,৭২ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় ? উঃ ১৪৪
যা মনে রাখতে হবেঃ ক্ষুদ্রতম বা smallest কথাটি প্রশ্নে থাকলে লসাগু করতে হবে।
সমাধানঃ যেহেতু ক্ষুদ্রতম কথাটি অঙ্কে বলা আছে ; তাই লসাগু করব ।
লিখিতঃ
নির্ণেয় লসাগু =২x২x২x৩x১x২x৩ =১৪৪
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর মান দেওয়া থাকলে নিচের ৪টি সুত্র ব্যবহার করতে হবে ।
.১। সংখ্যাগুলোর গুণফল = ল.সা.গু x গ.সা.গু
২। সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = সংখ্যাগুলোর গুণফল \গ.সা.গু
৩। সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু = সংখ্যাগুলোর গুণফল \ল.সা.গু
৪। অপর সংখ্যাটি = ল.সা.গু * গ.সা.গু\ একটি সংখ্যা
দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং ল.সা.গু ও গ.সা.গু দেওয়া থাকলে –
সূত্র ১ঃ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = সংখ্যাগুলোর অনুপাতের গুণফল x গ.সা.গু
উদাহরণঃ দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ হলে এবং গ.সা.গু ৮ হলে তার ল.সা.গু = ৫x৬x৮=২৪০
সূত্র ২ঃ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু = সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু\ সংখ্যাগুলোর অনুপাতের গুণফল
উদাহরণঃ দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ হলে এবং ল.সা.গু ২৪০ হলে, গসাগু =২৪০/৩০=৮
ভগ্নাংশের ল সা গু ও গ সা গুঃ
সূত্র ১ঃ ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু\ হরগুলোর গ সা গু
প্রশ্নঃ ৩\৫ , ১\৪ , ২/৩ এর ল.সা.গু কত ?
সমাধানঃ
লব ৩,১,২ এর লসাগু ৬
হর ৫,৪,৩ এর গসাগু ১
সুতরাং ল.সা.গু = ৬\১ = ৬
সূত্র ২ঃ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু\হরগুলোর ল.সা.গু
প্রশ্নঃ ১\৩ এবং ১\২ এর গ.সা.গু কত?
সমাধানঃ
লব ১ ও ১ এর গসাগু ১
হর ৩ ও২ এর লসাগু ৬
সুতরাং গ.সা.গু = ১\৬
কিছু উদাহরণসহ অংক সমাধান দেখলে আর বিষয়টা পরিস্কার হবে
১। দুটি সংখ্যার গসাগু 5 ও লসাগু 60। একটি সংখ্যা 15 হলে, অন্য সংখ্যাটি কত?
এমন ক্ষেত্রে একটি সূত্র মনে রাখতে হবে। সেটি হলো-
*২ টি সংখ্যার গুনফল, সংখ্যা ২ টির গ.সা.গু ও ল.সা.গু-এর গুনফলের সমান।
অর্থাৎ,
সংখ্যাদ্বয়ের গুনফল=গ.সা.গু × ল.সা.গু।
এখানে,
একটি সংখ্যা 15, গ.সা.গু 5 ও ল.সা.গু 60
মনেকরি, অন্য সংখ্যাটি x
অতএব, 15x=5×60
এটি সমাধান করলে X এর মান 20 হবে।
সুতরাং, অপর সংখ্যাটি 20.
২। দুইটি সংখ্যার যোগফল ২৫৬ এবং গ.সা.গু ৩২। এরূপ সকল সংখ্যাযুগল নির্ণয় করন। সমাধানঃ যোগফল ২৫৬ এবং গ.সা.গু ৩২।
সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যাদ্বয় ৩২xএবং ৩২y
এখানে xওy সহমৌলিক।
প্রশ্নমতে, ৩২x + ৩২y = ২৫৬
বা, ৩২ (x+y) = ২৫৬
x+y =৮ [উভয় পক্ষকে ৩২ দ্বারা ভাগ করে]
x = ১, y = ৭ এবং x = ৩, y =৫ পর্যবেক্ষণ দ্বারা মান পাওয়া গেল।
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় ৩২x১ এবং ৩২x৭ অর্থাৎ ৩২ এবং ২২৪
অথবা, ৩২x৩= ৯৬ এবং ৩২x৫=১৬০
অতএব নির্ণেয় সংখ্যাযুগল (৩২ ও ১১৪) অথবা (৯৬ ও ১৬০)।
৩। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫। একটি সংখ্যা ৬০ হলে অপর সংখ্যা কি কি হতে পারে?
সমাধানঃ গ.সা.গু ১৫ এবং একটি সংখ্যা ৬০ হলে সহমৌলিকের একটি ৬০÷১৫=৪
অপর সহমৌলিকটি k এবং k অযুগ্ম হবে। k যদি যুগ্ম বা জোড় সংখ্যা হয় তবেkও ৪ সহমৌলিক হবে না। গ.সা.গু ১৫ হলে,
সংখা দুইটির একটি = গ.সা.গু x একটি সহমৌলিক = ১৫÷৪=৬০
একটি সংখ্যা ৬০ দেওয়া আছে।
সুতরাং অপর সংখ্যাটি = গ.সা.গু x অপর সহমৌলিক
= ১৫x k= ১৫ k
নির্ণের অপর সংখ্যাটি ১৫k ধরনের যেকোন সংখ্যা; যেখানে k অযুগ্ম।
৪। দুটি সংখ্যার যোগফল ৫৬ এবং ল.সা.গু. ৯৬। সংখ্যা দুটি কত?
সমাধানঃ যেকোন দুটি সংখ্যার গ.সা.গু, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ও সমষ্টির গ.সা.গু একই।
৫৬ ও ৯৬ এর গ.সা.গু ই নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু।
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু = ৮
ধরি, সংখ্যাদ্বয় ৮x ও ৮y ; x ও y সহমৌলিক।
৮x ও ৮y এর ল.সা.গু = ৮xy
শর্তমতে, ৮xy = ৯৬
বা, xy = ১২
পর্যবেক্ষন করে x = ১, y = ১২ এবং x = ৩, y = ৪ পাওয়া গেল।
কিন্তু ৮x + ৮y = ৫৬
বা, ৮ (x+y) = ৫৬
বা, x+y =
x+y = ৭ দেওয়া আছে
x = ৩, y = ৪ একমাত্র গ্রহনযোগ্য মান।
সংখ্যাদ্বয় ৮x৩ = ২৪ এবং ৮x৪=৩২।
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় ২৪ এবং ৩২।
৫। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু, সমষ্টি ও ল.সা.গু যথখাক্রমে ৩৬, ২৫২ ও ৪৩২। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করুন।
সমাধানঃ গ.সা.গু ৩৬, সংখ্যা দুইটির যোগফল ২৫২ এবং ল.সা.গু ৪৩২।
মনেকরি, সংখ্যা দুইটি ৩৬x ও ৩৬y এখানে x ও y সহমৌলিক।
শর্তানুসারে, ৩৬x +৩৬y = ২৫২
বা, (x+y) = = ৭
x+y = ৭
অবার ৩৬x ও ৩৬y এর ল.সা.গু ৩৬xy
শর্তানুসারে, ৩৬xy = ৪৩২
xy = ১২
পর্যবেক্ষণ দ্বারা x = ৩ এবং y = ৪ মান পাওয়া যায়। কারণ x+y = ৭
এবং xy = ১২
সুতরাং সংখ্যাদ্বয় ৩৬x৩=১০৮, ৩৬x৪=১৪৪
নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় ১০৮, ১৪৪।
৬। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু অন্তর ও ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ ও ২৪৪৮। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করুন (৩৩ তম )
সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যা দুইটি ১২x ও ১২y, যেখানে x>y এবং x,y সহমৌলিক।
সংখ্যা দুইটির অন্তর ফল ১২x – ১২y =৬০
বা, ১২ (x-y) = ৬০
x-y = = ৫
আবার, ১২x ও ১২y এর ল.সা.গু ১২xy
শর্তানুসারেম ১২xy = ২৪৪৮
বা, xy = ২০৪
২০৪ = ১২x১৭
x,y সহমৌলিক এবং x > y হওয়ায়
x = ১৭, y = ১২ পর্যবেক্ষণ দ্বারা নির্ণীত হলো।
১৭, ১২ সংমৌলিক এবং অন্তরফল ৫।
নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি ১২ x১৭ = ১০৪
১২ x ১২ = ১৪৪
৭। কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৩০৫, ৪৬৬৫ ও ৬৯০৫ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই অবশিষ্ট থাকবে।
সমাধানঃ একই অবশিষ্ট k হলে নির্ণেয় সংখ্যা হবে (১৩০৫-k) (৪৬৬৫- k) এবং (৬৯০৫- k) এর গ.সা.গু। এই সংখ্যা তিনটির যে কোন সাধারণ উৎপাদক এদের প্রত্যেক জোড়ার অন্তরফলের ও সাধারণ উৎপাদক। এ সাধারণ উৎপাদকই অন্তরফলের গ.সা.গু।
(৪৬৬৫- k) – (১৩০৫- k) = ৪৬৬৫ – ১৩০৫ = ৩৩৬০
(৬৯০৫- k) – (৪৬৬৫- k) = ৬৯০৫ – ৪৬৬৫ = ২২৪০
(৬৯০৫- k) – (১৩০৫- k) = ৬৯০৫ – ১৩০৫ = ৫৬০০
২২৪০,৩৩৬০,৫৬০০ এর গসাগু= ১১২০
গ.সা.গু = ১১২০
অতএব নির্ণেয় সংখ্যা ১১২০।
৮। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ২১ এবং ল.সা.গু ৪৬৪১। একটি সংখ্যা ২০০ ও ৩০০ এর মধ্যবর্তী; অপরটি কত?
সমাধানঃ মনে করি, সংখ্যা দুইটি ২১x ও ২১y
এখানে x ও y সহমৌলিক।
২১x ও ২১y এর ল.সা.গু ২১xy
২১xy = ৪৬২১
বা, xy = = ২২১x,y সহমৌলিক হওয়ার x = ১, y = ২২১, এবং x = ১৩, y = ১৭
যেহেতু একটি সংখ্যা ২০০ ও ৩০০ এর মধ্যবর্তী সুতরাং x = ১৩, y = ১৭ গ্রহণযোগ্য।
কারণ ২১x১৩= ২৭৩ সংখ্যাটি শর্তপূরণ করে।
অপর সংখ্যা ২১x১৭ = ৩৫৭
নির্ণেয় সংখ্যা ৩৫৭।
৯। ৪০০ ও ৫০০ -এর মধ্যবর্তী কোন কোন সংখ্যাকে ১২, ১৫ ও ২০ দ্বারা ভাগ দিলে প্রতি ক্ষেত্রে ১০ অবশিষ্ট থাকে?
সমাধানঃ
১২, ১৫, ২০ এর ল.সা.গু, = ৬০
৬০) ৪০০ ( ৬
৩৬০
_____
৪০
এখানে, ৬০-৪০ = ২০
সুতরাং, ৪০০ এর পরবর্তী ৬০ দ্বারা বিভাজ্য
সংখ্যা ৪০০ + ২০ = ৪২০
৬০) ৫০০ (৮
৪৮০
______
২০
আবার, ৫০০ এর পূর্ববর্তী ৬০ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা= ৫০০-২০ = ৪৮০
অবএব, নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় = ৪২০ + ১০ = ৪৩০ এবং ৪৮০+১০ = ৪৯০
১০। ১৩ দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ৩,৪,৫,৬ ও ৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১,২,৩,৪ ও ৫ অবশিষ্ট থাকে।
উত্তর
৩-১=২
৪-২=২
৫-৩=২
৬-৪=২
৭-৫=২
বিয়োগ করলে প্রতি ক্ষেত্রেই ২ থাকে।
নির্নেয় ল.সা.গু=৪২০।
সংখ্যাটি হবে
৪২০ k -২, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য [শ = ১,২,৩….]
৪২০x১-২=৪১৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x২-২= ৮৩৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৩-২=১২৫৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৪-২ = ১৬৭৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৫-২= ২০৯৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৬-২= ২৫১৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
৪২০x৭-২= ২৯৩৮, ১৩ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যা = ২৯৩৮।
১১। কতকগুলি চারাগাছ প্রতি সারিতে ৩,৫,৬,৮,১০ ও ১২টি করে লাগাতে গিয়ে দেখা গেল যে প্রতিবারে ২টি চারা বাকী থাকে কিন্তু প্রতি সারিতে ১৯টি করে লাগাতে একটি চারা ও অবশিষ্ট থাকে না। কম পক্ষে কতগুলো চারা গাছ ছিল।
উত্তরঃ
২২৩৫
১, ১, ১, ২, ১, ১
নির্নেয় ল.সা.গু= ১২০
সংখ্যাটি হবে ১২০ + ২ যা ১৯ দ্বারা বিভাজ্য
এখানে, ১২০x১+২=১২২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x২+১৪২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৩+২= ৩৬২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৪+২= ৪৮২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৫+২= ৬০২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
১২০x৬+২= ৭২২, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য নহে।
নির্ণেয় সংখ্যা = ৭২২।
১২। একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৩ মিটার পিছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার গাড়ীটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?
৩ ও ৪ এর ল.সা.গু. = ৩x৪=১২
১২ মিটার পথ চলতে সম্মুখের চাকা ঘোরে (১২ ÷৩) = ৪ বার
১২ মিটার পথ চলতে পিছনের চাকা ঘোরে (১২÷ ৪) = ৩ বার
সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ১ বার বেশি ঘোরে ১২ মিটার পথ চলতে।
১০০ বার বেশি ঘোরে ১২x১০০ মিটার পথ চলতে = ১২০০ বা ১.২ কিলোমিটার পথ চলতে।
নির্ণেয় পথের দূরত্ব = ১.২ কিলোমিটার।
১৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যাহা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ৪, ৫, ৬ ও ৯ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে?
সমাধানঃ
৪, ৫, ৬ ও ৯ এর ল.সা.গু = ১৮০
১৩ দ্বারা বিভাজ্য তার শর্ত না থাকলে (১৮০+১) বা ১৮১ নির্ণেয় সংখ্যা।
এখানে সংখ্যাটি হবে ১৮০ k +১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য।
[k = ১, ২, ৩, ৪………..]
১৮০x১+১= ১৮১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x২+১= ৩৬১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৩+১= ৫৪১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৪+১= ৭২১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৫+১= ৯০১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৬+১= ১০৮১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৮০x৭+১= ১২৬১, যা ১৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২৬১।
১৪। দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যাকে ৫, ৭, ১২ এবং ১৫ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট যথাক্রমে ২, ৪, ৯ ও ১২ থাকবে?
সমাধানঃ
৫, ৭, ১২, ১৫
২, ৪, ৯, ১২
৩, ৩, ৩, ৩
এখানে প্রতিক্ষেত্রেই বিয়োগফল= ৩
৫, ৭, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ৪২০
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
৪২০)১০০০০০(২৩৮
৮৪০
১৬০০
১২৬০
৩৪০০
৩৩৬০
৪০
৪২০-৪০=৩৮০
ল.সা.গু দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = (১০০০০০+৩৮০)= ১০০৩৮০
নির্ণেয় সংখ্যা = ১০০৩৮০-৩= ১০০৩৭৭
বাস্তব সংখ্যা । বিসিএস সহ সব সরকারি পরীক্ষায় আসা উদাহরণ সহ ব্যাখ্যা?
১৫। পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে সমষ্টি ২, ৪, ৬, ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
সমাধানঃ
ল.সা.গু =১২০
১২০)১০০০(৮৩
৯৬০
৪০০
৩৬০
৪০
১২০-৪০=৮০
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৮০
১৬। দুইটি আয়তাকার গুদামঘরের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২৮ ও ২০ মিটার এবং প্রস্থ যথাক্রমে ১৪ ও ১২ মিটার। সবচেয়ে বড় কোন আয়তনের পাথর দিয়ে ঘরের মেঝে পুরোপুরি ডেকে ফেলা যাবে?
সমাধানঃ যেহেতু সবচেয়ে বড় আয়তনের পাথরের আকার নির্ণয় করতে হবে, সেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দ্বয়ের গ.সা.গু বের করতে হবে।
দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২৮ এবং ১৪
২৮ ও ১৪ এর গ.সা.গু = ১৪
প্রস্থ যথাক্রমে ২০ এবং ১২
২০ এবং ১২ এর গ.সা.গু = ৪
সবচেয়ে বড় আকারের পাথরের মাপ = ১৪ মিটার x ৪ মিটার
১৭। একটি আয়তাকার হল ঘরের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার, প্রস্থ ১২ মিটার, আরেকটি আয়তাকার হল ঘরের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। সবচেয়ে বড় কোন আয়তনের কাঠের টুকরা দিয়ে উভয় ঘরের মেঝে পুরোপুরি ঢেকে ফেলা যাবে, মোট কতটি কাঠের টুকরা লাগবে?
সমাধানঃ” যেহেতু সবচেয়ে বড় আকারের পাথর দিয়ে ঘরের মেঝে ঢাকতে হবে, সেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ এর গ.সা.গু বের করতে হবে।
দুইটি ঘরের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩০ এবং ২০
২০ এবং ৩০ এর গ.সা.গু = ১০
ঘর দুইটির প্রস্থ যথাক্রমে ১২ এবং, ১৫।
১২ এবং ১৫ এর গ.সা.গু = ৩
সবচেয়ে বড় আয়তনের কাঠের টুকরার মাপ = ১০ মিটার x ৩ মিটার
১ম ঘরের ক্ষেত্রফল (৩০x১২)বা ৩৬০ বর্গমিটার
২য় ঘরের ক্ষেত্রফল (২০x১৫)বা ৩০০ বর্গমিটার
কাঠের টুকরার ক্ষেত্রফল (১০x৩) বা ৩০ বর্গমিটার
১ম ঘর ঢাকতে কাঠের টুকরা লাগবে (৩৬০ ÷ ৩০) বা ১২টি
২য় ঘর ঢাকতে কাঠের টুকরা লাগবে (৩০০ ÷৩০) বা ১০ টি
কাঠের টুকরার মাপ ১০ মিটার x ৩ মিটার এবং কাঠের টুকরা লাগবে ২২ টি।
১৮। কোন সৈন্যদলকে ৮, ১০ বা ১২ সারিতে এবং বর্গাকারেও সাজানো যায়। সেই সৈন্যদলের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যা চার অঙ্ক বিশিষ্ট।
সমাধানঃ
৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু =১২০
সৈদ্যদেরকে বর্গাকারে সাজাতে হলে তাদের মোট সংখ্যা অবশ্যই পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হবে। কিন্তু ১২০ পূর্নবর্গ নয় এমনকি চার অঙ্কবিশিষ্টও নয়। ১২০ কে ২, ৫ ও ৩ এর গুনফল দিয়ে গুন করলে একটি পূর্নবর্গ সংখ্যা হবে যা চার অঙ্কবিশিষ্ট।
সংখ্যাটি = ৩৬০০
সৈন্যদলের চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্নবর্গ সংখ্যা ৩৬০০।
এমসিকিউ
বিসিএস সহ সকল পরীক্ষায় আসা ল.সা.গু এবং গ.সা.গু থেকে বাছাই করা সকল প্রশ্ন সমাধান
ক. ৮৯
খ. ১৪১
গ. ১৪৮
ঘ. ১৭০
উত্তরঃ খ
2. ৭২৮ এবং ৯০০ কে সর্বাপেক্ষা বড় কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৮ এবং ৪ অবশিষ্ট থাকবে?
ক. ১২
খ. ১৩
গ. ১৪
ঘ. ১৬
উত্তরঃ ঘ
3. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?
ক. ১৫
খ. ১৪
গ. ১৩
ঘ. ১২
উত্তরঃ ঘ
4. একটি পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন যাকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৩, ৪ এবং ৫ অবশিষ্ট থাকে?
ক. ৪৭
খ. ৪৯
গ. ৫৭
ঘ. ৫৯
উত্তরঃ ঘ
5. কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ক. ৮৯
খ. ১৪১
গ. ২৪৮
ঘ. ১৭০
উত্তরঃ খ
6. এক স্কুলে ড্রিল করার সময় ছাত্রদের ৮,১০ বা ১২ সারিতে সাজানো হয়। ঐ স্কুলে ন্যূনতম কতজন ছাত্র রয়েছে?
ক. ৮০
খ. ৯৬
গ. ১২০
ঘ. ১৪০
উত্তরঃ গ
7. কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ১৮ ও ২৪ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট যথাক্রমে ৪ ও ১০ হবে?
ক. ৪০
খ. ৫৮
গ. ২৪
ঘ. কোনোটিই নয়
উত্তরঃ খ
8. ৩৬ সংখ্যাটির মোট কতগুলো ভাজক রয়েছে?
ক. ৬টি
খ. ৮টি
গ. ৯টি
ঘ. ১০টি
উত্তরঃ গ
9. ৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২,৩,৪,৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
ক. ২১
খ. ৩৯
গ. ৩৩
ঘ. ২৯
উত্তরঃ ক
10. ২৪, ৩০ এবং ৭৭ এর গ.সা.গু কত?
ক. ১
খ. ২
গ. ৩
ঘ. ৫
উত্তরঃ ক11. পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৫,৮,১২,১৪ দ্বারা বিভাজ্য?
ক. ৭০১
খ. ৮০১
গ. ৮১৫
ঘ. ৭০৯
উত্তরঃ খ
12. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৯০ এবং গ.সা.গু. ১৫। একটি সংখ্যা ৪৫ হলে, অপরটি কত?
ক. ৩০
খ. ৩৬
গ. ৬০
ঘ. ৭৫
উত্তরঃ ক
13. দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ ও ল.সা.গু. ১৯২। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
ক. ৬০
খ. ৬২
গ. ৬৪
ঘ. ৬৮
উত্তরঃ ক
14. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু. যথাক্রমে ২৮৮ ও ১২। একটি সংখ্যা ৩৬ হলে, অপরটি কত?
ক. ৯৬
খ. ৭২
গ. ৯২
ঘ. কোনটাই নয়
উত্তরঃ ক
15. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১৫ এবং ল.সা.গু. ৪২০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে অপরটি কত?
ক. ১০৫
খ. ১০৬
গ. ১০০
ঘ. ৯০
উত্তরঃ ক
16. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু যথাক্রমে ২ ও ৩৬০। একটি সংখ্যা ১০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
ক. ২৪
খ. ৪৮
গ. ৬০
ঘ. ৭২
উত্তরঃ ঘ
17. দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ঃ৬ এবং তাদের গ.সা.গু. ৪ হলে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. কত?
ক. ৩০
খ. ৪৮
গ. ১২০
ঘ. ৪৮০
উত্তরঃ গ
18. দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ঃ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৮ হলে তাদের ল.সা.গু. কত?
ক. ২০০
খ. ২২৪
গ. ২৪০
ঘ. ২৪৮
উত্তরঃ গ
19. দুটি সংখ্যার গুণফল ৩১৫। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. ১০৫ হলে গ.সা.গু. কত?
ক. ১২
খ. ৬
গ. ১৪
ঘ. ৩
উত্তরঃ ঘ
20. দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১১ এবং ল.সা.গু. ৭৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫ হলে, অপর সংখ্যাটি-
ক. ৩১৮
খ. ৩০৮
গ. ২৮৩
ঘ. ২৭৯
উত্তরঃ খ
21. দুটি স্যখ্যার গুণফল ১৫৩৬, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. ৯৬ হলে গ.সা.গু. কত?
ক. ১৬
খ. ২৪
গ. ৩২
ঘ. ১২
উত্তরঃ ক
22. ২টি ঘড়ি যথাক্রমে ১০ ও ২৫ মিনিট অন্তর বাজে। একবার একত্রে বাজার পর আবার কখন ঘড়ি দু’টি একত্রে বাজবে?
ক. ২০ মি: পর
খ. ৩০ মি: পর
গ. ৫০ মি: পর
ঘ. ১০০ মি: পর
উত্তরঃ গ
23. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩,৪ ও ৫ দ্বারা ভাগ করলে নিঃশেষ বিভাজ্য?
ক. ১৬০
খ. ৯০
গ. ১২০
ঘ. ৬০
উত্তরঃ ঘ
24. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৫, ১০, ১৫ দ্বারা ভাগ করলে ৪ অবশিষ্ট থাকে?
ক. ৬৪
খ. ১২৪
গ. ৩৪
ঘ. কোনোটিই নয়
উত্তরঃ গ
25. দুইটি সংখ্যার গুণফল ৭২০। এদের গ.সা,গু. ৬ হলে ল.সা.গু. কত?
ক. ১০০
খ. ১২৫
গ. ১২০
ঘ. ১৫০
উত্তরঃ গ
26. দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ৪ এবং ল.সা.গু. ৬০। একটি সংখ্যা ২০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?
ক. ৯
খ. ১২
গ. ১৫
ঘ. ১৮
উত্তরঃ খ
27. একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করার সময় ৮, ১২ ও ১৬ সারিতে সাজানো যায় আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কুলের চাত্রসংখ্যা কমপক্ষে কত হবে?
ক. ৯৬
খ. ১০০
গ. ১৪৪
ঘ. ১৬০
উত্তরঃ গ
28. দুটি সংখ্যার গুণফল ১,৫৩৬। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. ৯৬ হলে তাদের গ.সা.গু. কত?
ক. ১৬
খ. ১২
গ. ২৪
ঘ. ১৮
উত্তরঃ ক
29. কোনো বিক্রেতাকে ৩.২৫ টাকা ও ১১.৫০ টাকা একই ধরনের মুদ্রা দ্বারা পরিশোধ করতে হলে সবচেয়ে বড় কত পয়সার মুদ্রা প্রয়োজন?
ক. ১০
খ. ১৫
গ. ৫০
ঘ. ২৫
উত্তরঃ ঘ
30. দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩৬ ও গ.সা.গু. ৬। একটি সংখ্যার ১২ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
ক. ৯
খ. ১২
গ. ১৫
ঘ. ১৮
উত্তরঃ ঘ31. ০,২,৩ এর গ.সা.গু. কত?
ক. ৩
খ. ২
গ. ১
ঘ. ০
উত্তরঃ গ
32. দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ঃ৬, তাদের গ.সা.গু ৪ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. কত?
ক. ৩৬০
খ. ২৪০
গ. ১৮০
ঘ. ১২০
উত্তরঃ ঘ
33. দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৮৪, গ.সা.গু. ৭। একটি সংখ্যা ২২ হলে অপর সংখ্যাটি কত?
ক. ৪
খ. ১২
গ. ৩২
ঘ. ২৮
উত্তরঃ ঘ
34. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩,৫,৯ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ২ হবে?
ক. ৪৩
খ. ৪৫
গ. ৪১
ঘ. ৪৭
উত্তরঃ ঘ
35. দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ঃ৬ এবং তাদের ল.সা.গু ১২০ হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. কত?
ক. ৪
খ. ৫
গ. ৬
ঘ. ৮
উত্তরঃ ক
36. ২০০২ সংখ্যাটি কোন সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. নয়?
ক. ১৩,৭৭,৯১,১৪৩
খ. ৭,২২,২৬,৯১
গ. ২৬,৭৭,১৪৩,১৫৪
ঘ. ২,৭,১১,১৩
উত্তরঃ ক
37. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৫ ও ৬ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে ১।
ক. ৭১
খ. ৪১
গ. ৩১
ঘ. ৩৯
উত্তরঃ গ
38. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৯, ১২ ও ১৫ দ্বারা নিঃশেষে নিভাজ্য হবে?
ক. ১২১
খ. ১৮১
গ. ২৪১
ঘ. ৩৬১
উত্তরঃ খ
39. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ১ যোগ করলে, যোগফল ৩, ৬, ৯, ১২ ও ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
ক. ৩৬১
খ. ৩৫৯
গ. ৭২১
ঘ. ১৭৯
উত্তরঃ ঘ
40. কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ক. ৮৯
খ. ৭০
গ. ১৭০
ঘ. ১৪২
উত্তরঃ খ
41. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪, ৫, ৬ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে?
ক. ১২১
খ. ১৬৯
গ. ৬১
ঘ. ১১১
উত্তরঃ গ
42. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ৩, ৬, ৯, ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
ক. ১৭৯
খ. ৩৬১
গ. ৩৫৯
ঘ. ৭২১
উত্তরঃ ক
43. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ১০২ ও ১৮৬ কে ভাগ করলে প্রত্যেক বার ৬ অবশিষ্ট থাকবে?
ক. ১২
খ. ১৫
গ. ১৬
ঘ. ২২
উত্তরঃ ক
44. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
ক. ১৭৮
খ. ৩৫৮
গ. ৩৬৮
ঘ. ৭১৮
উত্তরঃ ক
45. কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ১২ ও ১৬ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট যথাক্রমে ৫ ও ৯ হবে?
ক. ৫৩
খ. ২৯
গ. ৮৮
ঘ. ৪১
উত্তরঃ ঘ
46. ৫ এর ৯৫ এর মধ্যে ৫ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কতটি?
ক. ৫টি
খ. ৬টি
গ. ১০টি
ঘ. ১৮টি
উত্তরঃ খ
আমাদের পোষ্ট গুলো প্রতিনিয়ত আপডেট করা হয়। বিসিএস,প্রাইমারি সহ সব পরীক্ষার প্রতিনিয়ত প্রশ্ন অনুযায়ী পোষ্ট গুলো আমরা আপডেট করি। সবার জন্য শুভ কামনা রইলো।