সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা। সমান্তর ধারার অংক । গুণোত্তর ধারার অংক। বিস্তারিত সহ ব্যাখ্যা।

শেয়ার করুন

Table of Contents

সমান্তর ধারা:

১। অনুক্রম কাকে বলে?

উত্তর: অনুক্রম হচ্ছে কতকগুলো সংখ্যা বা রাশিকে একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে ধারাবাহিকভাবে সাজানোর প্রক্রিয়া।

২। পদ কাকে বলে?

উত্তর: অনুক্রমের প্রত্যেকটি সংখ্যা বা রাশিকে পদ বলা হয়।

৩। ধারা কাকে বলে?

উত্তর: অনুক্রমের সংখ্যা বা রাশিগুলোর সমষ্টিকে ধারা বলা হয়।

৪। সসীম ধারা কাকে বলে?

উত্তর: ধারার পদ সংখ্যা যদি নির্দিষ্ট বা সসীম হয়, তাহলে তাকে সসীম ধারা বলে। সসীম ধারার অপর নাম সান্ত ধারা।

৫। অসীম ধারা কাকে বলে?

উত্তর: কোন ধারার পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে বা অসীম হলে তাকে অসীম ধারা বলে।

৬। সমান্তর ধারা কাকে বলে?

উত্তর: যে ধারায় ২য় পদ থেকে ১ম পদ বিয়োগ করলে একই সংখ্যা বা রাশি পাওয়া যায় তাকে সমান্তর ধারা বলে।

৭। গুণোত্তর ধারা কাকে বলে?

উত্তর: যে ধারার কোন পদের সাথে তার পরবর্তী পদের অনুপাত বা ভাগফল সমান হয় তাকে, গুণোত্তর ধারা বলা হয়।

সমান্তর ধারা

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য (বিয়োগফল) সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে। সমান্তর ধারা সসীম বা অসীম যেকোনোটি হতে পারে। যেমন:

$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . . + 256$

$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . .$

সাধারণত সমান্তর ধারার ১ম পদকে a এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, ধারাটির

২য় পদ $= a + d$

৩য় পদ $= a + 2d$

৪র্থ পদ $= a + 3d$

সুতরাং ধারাটি $a + (a + d) + (a+2d) + (a+3d) + . . . . . . . . . . . . .$

সমান্তর ধারার সূত্রঃ

১. 1+2+3+4+……+ n হলে এরূপ ধারার সমষ্টি = [n(n+1)/2]

২. ১ম n পদের বর্গের সমষ্টি = [n(n+1)(2n+1)]/6

1²+2² + 3²+……+ n²= [n(n+1)(2n+1)]/6

৩. ১ম n পদের ঘনের সমষ্টি = [n(n+1)/2]²

1³ + 2³ + 3³+……+n³= [n(n+1)/2]²

৪. পদ সংখ্যা = [(শেষ পদ – প্রথম পদ)/ সাধারণ অন্তর] + ১

Number of terms= (Last Term – first Term/ Difference)+1

৫. সমষ্টি/ যোঘফল = [(১ম পদ + শেষ পদ) x পদসংখ্যা] / 2

Sum= [(First Term+ Last term) x Number of Terms] / 2

৬. n তম পদ = a + (n-1)d ‌

এখানে,

n = পদসংখ্যা

a = ১ম পদ

d = সাধারণ অন্তর

৭. গড়= (প্রথম পদ + শেষ পদ) / ২

৮. সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র ( n সংখ্যক পদের সমষ্টি) = n/2[2a+(n-1)d]

৯. প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = n²

১০. প্রথম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)

১১. বৃহত্তম সংখ্যা = (সমষ্টি + অন্তর) / ২

১২. ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ( সমষ্টি – অন্তর) / ২

১৩. ধারার n তম পদ = a+(n – 1) .d

যেখানে,

d = সাধারণ অন্তর

n = পদসংখ্যা

a = প্রথম পদ

গুণোত্তর ধারা

১৪। গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^(n−1)

যেখানে,

a = ধারাটির প্রথম পদ

r = সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় সংখ্যা / প্রথম সংখ্যা

১৫। গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি,

Sn= a(1−r^n)/1−r, যখন r < 1

Sn= a(r^n −1)/r−1, যখন r > 1

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ

কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে, ধারাটির

১ম পদ $= a$ $= a + (1 - 1)d$

২য় পদ $= a + d$ $= a + (2 - 1)d$

৩য় পদ $= a + 2d$ $= a + (3 - 1)d$

৪র্থ পদ $= a + 3d$ $= a + (4 - 1)d$ ইত্যাদি

সুতরাং সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা n তম পদ $= a + (n - 1)d$

অংক সমস্যা ও সমাধান

সমান্তর ধারা-

উদাহরণ-১

একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:

n তম পদ $= a + (n - 1)d$

$= 5 + (n - 1)3$

$= 5 + 3n - 3$

$= 2 + 3n$

Ans. $2 + 3n$

উদাহরণ-২

একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান:

ধারাটির n তম পদ $= a + (n - 1)d$

সুতরাং ধারাটির দশম পদ $= 5 + (10 - 1)3$

$= 5 + 9 \times 3$

$= 5 + 27$

$= 32$

Ans. $32$

উদাহরণ-৩

$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . .$ ধারাটির কোন পদ 250 ?

সমাধান:

ধারাটির ১ম পদ $a = 2$ , সাধারণ অন্তর $d = 4 - 2 = 2$

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 250

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ $= a + (n - 1)d$

সুতরাং

$a + (n - 1)d = 250$

বা, $2 + (n - 1)2 = 250$

বা, $2 + 2n - 2 = 250$

বা, $2n = 250$

$\therefore n = 125$

সুতরাং, $125$ তম পদ 250

Ans. $125$ তম পদ

নিচের তথ্যের আলোকে ৪-৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

7+13+19+25+…….. একটি ধারা।

৪. ধারাটির 15 তম পদ কোনটি?

ক) 85 খ) 91 গ) 97 ঘ) 104

উত্তরঃ খ

৫. ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত?

ক) 141 খ) 1210 গ) 1280 ঘ) 2560

উত্তরঃ গ

৬. 2-5-12-19-…….. ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12 তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, এর প্রথম পদ a=2

সাধারণ অন্তর d=২য় পদ-১ম পদ=(-5)-2=-5-2=-7

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ =a+(n-1)d

∴ধারাটির 12 তম পদ

= a+(12-1)d

=2+11.(-7)

=2-77

=-75

∴ধারাটির সাধারণ অন্তর -7 এবং 12 তম পদ -75

৭. 8+11+14+17+…..ধারাটির কোন পদ 392?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

এর ১ম পদ a=2

সাধারণ অন্তর d=11-8=3

মনে করি, n তম পদ=392

তাহলে,

a+(n-1)d=392

বা, 8+(n-1)3=392

বা, (n-1)3=392-8

বা, 3n-3=384

বা, 3n=384+3

বা, 3n=387

বা, n=387/3

বা, n=129

অতএব, ধারাটির 129 তম পদ 392.

৮. 4+7+10+13+…….ধারাটির কোন পদ 301?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

এর ১ম পদ a=4

সাধারণ অন্তর d=7-4=3

মনে করি, r তম পদ=301

তাহলে,

a+(r-1)d=301

বা, 4+3r-3=301

বা, 3r+1=301

বা, 3r=301-1

বা, 3r=300

বা, r=300/3

বা, r=100

অতএব, ধারাটির 100 তম পদ 301.

৯. 1+3+5+7+……ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

প্রথম পদ a=1

সাধারণ অন্তর, d=3-1=2

পদসংখ্যা=n

ধারাটির সমষ্টি

=—– {2a+(n-1)d}

=—– {2.1+(n-1)2}

=—– {2+2n-2}

=—– ✕2n

=n²

∴ ধারাটির n পদের সমষ্টি n²

১০. 8+16+24+………ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

ধারার ১ম পদ a=8

সাধারণ অন্তর d=16-8=8

পদের সংখ্যা n=9

সমষ্টি

=—– {2a+(n-1)d}

∴9টি পদের সমষ্টি

=—– {2.8+(9-1)8}

=—– (16+64)

=—– ✕80

=360

∴ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি 360

১১. 5+11+17+23+……..+59=কত?

সমাধানঃ

ধারাটি সমান্তর ধারা,

এখানে, ১ম পদ, a=5

সাধারণ অন্তর, d=11-5=6

মনে করি, n তম পদ =59

∴ a+(n-1)d=59

বা, 5+(n-1)6=59

বা, (n-1)6=54

বা, (n-1)=9

বা, n=9+1

বা, n=10

∴ধারাটির সমষ্টি

=—– {2a+(n-1)d}

=—– {2.5+(10-1).6}

=—– {10+54}

=5✕64

=320

১২. 29+25+21+……-23=কত?

সমাধানঃ

ধারাটি সমান্তর ধারা,

এখানে, ১ম পদ, a=29

সাধারণ অন্তর, d=25-29=-4

মনে করি, n তম পদ =-23

∴ a+(n-1)d=59

বা, 29+(n-1)(-4)=-23

বা, -4(n-1)=-23-29

বা, -4(n-1)=-52

বা, -4n+4=-52

বা, -4n=-52-4

বা, -4n=-56

বা, n=14

∴ধারাটির সমষ্টি

=—– {2a+(n-1)d}

=—– {2.29+(14-1).(-4)}

=—– {58-52}

=7✕6

=42

১৩. কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

ধারাটির প্রথম পদ=a

সাধারণ অন্তর=d

12 তম পদ

=a+(12-1)d

=a+11d

প্রশ্ন অনুসারে,

a+11d=77

∴ধারাটির প্রথম 23 পদের সমষ্টি

=—– {2a+(23-1)d}

=—– (2a+22d)

=—– 2(a+11d)

=23(a+11d)

=23✕77

=1771

১৪. একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ -20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

ধারাটির প্রথম পদ=a

সাধারণ অন্তর=d

16 তম পদ

=a+(16-1)d

=a+15d

প্রশ্ন অনুসারে,

a+15d=-20

∴ধারাটির প্রথম 31 পদের সমষ্টি

=—– {2a+(31-1)d}

=—– (2a+30d)

=—– 2(a+15d)

=31(a+11d)

=31✕-20

=-620

উদাহরণ- ১৫

$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . . . . . . . + 256$ ধারাটিতে মোট কতটি পদ আছে ?

সমাধান:

ধারাটির ১ম পদ $a = 2$ , সাধারণ অন্তর $d = 4 - 2 = 2$

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 256

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ $= a + (n - 1)d$

সুতরাং

$a + (n - 1)d = 256$

বা, $2 + (n - 1)2 = 256$

বা, $2 + 2n - 2 = 256$

বা, $2n = 256$

$\therefore n = 128$

সুতরাং $128$ তম পদ 256

অতএব,

ধারাটিতে 128 টি পদ আছে।

Ans. $128$ টি পদ।

উদাহরণ-১৬

কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, (m+n) তম পদ কত ?

সমাধান:

মনে করি, ধারাটির ১ম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$

সমান্তর ধারার n তম পদ $= a + (n - 1)d = a + nd - d$

এবং m তম পদ $= a + (m - 1)d = a + md - d$

সুতরাং

$a + md - d = n . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . (i)$

$a + nd - d = m . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . (ii)$

————————————————-

d (m – n) = n – m [বিয়োগ করে]

বা, $d = \frac{n - m}{m - n}$

বা, $d = \frac{- (m - n)}{m - n}$

$\therefore d = - 1$

এখন,

$(m + n)$ তম পদ $= a + (m + n - 1)d$

$= a + md + nd - d$

$= a + md - d + nd$

$= n + n (- 1)$

$= n - n$

$= 0$

Ans. $0$

গুণোত্তর ধারা-

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে। গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে প্রথম পদ = a, সাধারণ অনুপাত = r হলে, n তম পদ (সাধারণ পদ) = ar^n-1।

গুণোত্তর ধারার সূত্রাবলি

কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে

গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^(n−1)যেখানে,a = ধারাটির প্রথম পদr = সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় সংখ্যা / প্রথম সংখ্যা
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি,Sn= a(1−r^n)/1−r, যখন r < 1Sn= a(r^n −1)/r−1, যখন r > 1
অসীম ধারার বিশেষ সূত্র

অনন্ত গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি সাধারণ অনুপাত |r|<1 হয়। এক্ষেত্রে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে অসীমতক সমষ্টি, $S = \frac{a}{(1 - r)}$ হবে।

গুণোত্তর ধারা বিভিন্ন পরীক্ষায় আসা উদাহরণ-

১. a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

c+d

ক) b= ———-

b+c

খ) a= ———-

b+d

গ) c= ———-

a+c

ঘ) d= ———-

উত্তরঃ গ

২. n ∈ N এর জন্য

n²+n

(i) Σi=———

(ii) Σi² =—– n(n+1)(n+2)

n²(n²+2n+1)

(iii) Σi³ =——————

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ খ

নিচের ধারাটির ভিত্তিতে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

log2+log4+log8+……..

৩. ধারাটির সাধারণ অন্তর কোনটি?

ক) 2 খ) 4 গ) log2 ঘ) 2log2

উত্তরঃ গ

৪. ধারাটির সপ্তম পদ কোনটি?

ক) log32 খ) log64 গ) log128 ঘ) log256

উত্তরঃ গ

৫. 64+32+16+8+……….ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=64

সাধারণ অনুপাত r

=——

=—-

ধারাটির অষ্টম পদ

= ar^8-1

=64.( ½)⁷

=——

2⁷

=——-

128

=——

৬. 3+9+27+……….ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=3

সাধারণ অনুপাত r=9/3=3

এবং পদ সংখ্যা n=14

যেহেতু সাধারণ অনুপাত, 3>1

সমষ্টি S

a(rⁿ-1)

=———-

r-1

3(3¹⁴-1)

=———-

3-1

3(4782969-1)

=——————-

3✕4782968

=—————–

=7174452

৭. 128+64+32+…… ধারাটির কোন পদ ½

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এখানে, প্রথম পদ a= 128

সাধারণ অনুপাত r=64/128=½

প্রশ্নমতে,

ar^n-1=½

বা, 128.( ½)^n-1=½

বা, (½)^n-1=————

2✕128

1 1

বা, ——– = ———-

2^n-1 256

1 1

বা, ——– = ———-

2^n-1 2⁸

বা, n-1=8

বা, n=8+1

বা, n=9

∴ ধারাটির নবম পদ ½

৯. (1/√2)-1+√2- ……….. ধারাটির কোন পদ 8√2?

সমাধানঃ

ধরি, ধারাটির n তম পদ=8√2

প্রথম পদ, a=———

√2

সাধারণ অনুপাত, r=-√2

প্রশ্নমতে,

ar^n-1=8√2

বা, ——.(-√2)^n-1=8√2

√2

বা, (-√2)^n-1=8√2✕√2

বা, (-√2)^n-1=8✕2

বা, (-√2)^n-1=16

(-√2)ⁿ

বা, ———– = 16

-√2

বা, (-√2)ⁿ=16✕(-√2)

বা, (-√2)ⁿ=(-√2)⁹

বা, n=9

∴ধারাটির নবম পদ 8√2

১০. 5+x+y+135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a = 5

মনে করি, সাধারণ অনুপাত = r

তাহলে, দ্বিতীয় পদ, ar^2-1=ar=x

তৃতীয় পদ, ar^3-1=ar²=y

এবং, চতুর্থ পদ, ar^4-1=135

বা, ar³=135

বা, 5.r³=135

বা, r³=135/5

বা, r³=27

বা, r³=3³

বা, r=3

তাহলে, দ্বিতীয় পদ, ar=5.3=15

তৃতীয় পদ, ar²=5.3²=5.9=45

১১. 3+x+y+z+243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x, y এবং z এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ a=3

মনে করি, সাধারণ অনুপাত = r

তাহলে, দ্বিতীয় পদ ar=x

তৃতীয় পদ ar²=y

চতুর্থ পদ ar³=z

এবং পঞ্চম পদ ar⁴=243

বা, 3.r⁴=243

বা, r⁴=243/3

বা, r⁴=81

বা, r⁴=3⁴

বা, r=3

তাহলে, দ্বিতীয় পদ ar=x=3.3=9

তৃতীয় পদ ar²=y=3.3²=3.9=27

চতুর্থ পদ ar³=z=3.3³=3.27=81

১২. 2-4+8-16+…….. ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=2

সাধারণ অনুপাত, r=-4/2=-2

পদসংখ্যা n=7

যেহেতু সাধারণ অনুপাত -2<1,

∴সমষ্টি S

(1-rⁿ)

a.———

1-r

1-(-2)⁷

=2.———-

1-(-2)

1+128

=2.———-

1+2

129

=2.——–

=86

∴ ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি 86

১৩. 1-1+1-1+………ধারাটির (2n+1) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এখানে, প্রথম পদ, a=1

সাধারণ অন্তর, r=-1/1=-1

পদ সংখ্যা q= 2n+1

যেহেতু সাধারণ অনুপত -1<1,

সুতরাং, সমষ্ট S

a(1-r^q)

———

1-r

1.{1-(-1)²ⁿ⁺¹}

=—————-

1-(-1)

=———

1+1

=———

1+1

=——

∴ধারাটির (2n+1) সংখ্যক পদের সমষ্টি 1

১৪. log2+log4+log8+………ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

ধারাটির সমষ্টি=S

তাহলে,

S= log2+log4+log8+………+দশম পদ

=log2¹+log2²+log2³+…………+log2¹⁰

=log2[1+2+3+…..+10]

=[1+2+3+….+10] ✕log2

10(10+1)

=————✕log2

n(n+1)

[1+2+3…n=————-]

=5(10+1) ✕log2

=5✕11✕log2

=55log2

১৫. log2+log16+log512+………..ধারাটির প্রথম বারটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটির বারটি পদের সমষ্টি

=log2+log16+log512+………..+12 তম পদ

=log2+log2⁴+log2⁹+……….+ 12 তম পদ

=1log2+4log2+9log2+……..+12 তম পদ

=(1+4+9+………..12 তম পদ)✕log2

=(1²+2²+3³+…….12²) ✕log2

12(12+1)(2✕12+1)

=————————-✕log2

=(2✕13+25)log2

=650log2

১৬. 2+4+8+16+…….ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 254 হলে, n এর মান কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর ১ম পদ a=2

সাধারণ অন্তর r=4/2=2

এবং n তম পদের সমষ্টি = 254

a(rⁿ-1)

——— = 254

r-1

বা, a(rⁿ-1)=254(r-1)

বা, 2.(2ⁿ-1)=254(2-1)

বা, 2(2ⁿ-1))=254

বা, (2ⁿ-1)=254/2

বা, (2ⁿ-1)=127

বা, 2ⁿ=127+1

বা, 2ⁿ=128

বা, 2ⁿ=2⁷

বা, n=7

এবার আমরা বিসিএস সহ বিভিন্ন পরীক্ষায় আসা এমসিকিউ দেখে নেই।

১. প্রশ্নঃ 5 + 8 + 11 + 14 + ……………. ধারার কোন পদ 302?

ক.

100
খ.

101
গ.

102
ঘ.

103

উত্তরঃ ক

২. প্রশ্নঃ ৮১, ২৭, .., ৩, ১; লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

ক.

৬
খ.

৯
গ.

১২
ঘ.

১৫

উত্তরঃ খ

৩.প্রশ্নঃ একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ ১, শেষ পদ ৯৯ এবং সমষ্টি ২৫০০ হলে ধারাটির সাধারণ অন্তর হবে—

ক.

৪
খ.

২
গ.

৩
ঘ.

৬

উত্তরঃ খ

৩. সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৫, সাধারণ অনুপাত 3 হলে-

i. ধারাটির দ্বিতীয় পদ 8
ii. ধারাটির তৃতীয় পদ 12
iii. ধারাটি হবে 5 + 8 + 11 + 14 +………
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i
Ο খ) i ও iii
Ο গ) ii
Ο ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (খ)

৪. a + (a + d) + (a + 2d) + ……….ধারাটির পঞ্চম পদ নিচের কোনটি?

Ο ক) a
Ο খ) a + 5d
Ο গ) a + 4d
Ο ঘ) a + 3d
সঠিক উত্তর: (গ)

৫. প্রথম n সংখ্যক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 42 হলে, n এর মান কত?

Ο ক) 6
Ο খ) 7
Ο গ) 8
Ο ঘ) 9
সঠিক উত্তর: (ক)

৬. 3+5+7+………..+13

i. ধারাটির সমষ্টি 36
ii. ধারাটিতে সাধারণ অন্তর
iii. ধারাটিতে ছয়টি পদ রয়েছে
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i
Ο খ) ii
Ο গ) ii ও iii
Ο ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (গ)

৭. প্রথম n সংখ্যক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 12 হলে, n এর মান কত?
Ο ক) 3
Ο খ) 4
Ο গ) 5
Ο ঘ) 6
সঠিক উত্তর: (ক)

৮. 6+9+12+…………..126 ধারাটিতে কতটি পদ আছে?

Ο ক) 41
Ο খ) 39
Ο গ) 38
Ο ঘ) 37
সঠিক উত্তর: (ক)

৯. কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 19, সাধারণ অন্তর 7 হলে ধারাটির ১৭ তম পদনিচের কোনটি?
Ο ক) 110
Ο খ) 113
Ο গ) 99
Ο ঘ) 131
সঠিক উত্তর: (ঘ)

১০. 6+10+14+18+………….ধারাটির সাধারণ অন্তর নিচের কোনটি?
Ο ক) 4
Ο খ) 6
Ο গ) 10
Ο ঘ) 2
সঠিক উত্তর: (ক)

১১. ক্রমিক জোড় সংখ্যার প্রথম পদ n হলে ধারাটিতে প্রথম তিন পদের সমষ্টি কত?
Ο ক) 3n + 4
Ο খ) 3n + 5
Ο গ) 3n + 6
Ο ঘ) 3n + 7
সঠিক উত্তর: (গ)

১২. প্রথম 10টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি কত?
Ο ক) 90
Ο খ) 100
Ο গ) 110
Ο ঘ) 120
সঠিক উত্তর: (খ)

১৩. সাধারণ অন্তর 5 হলে 1 এবং 51 এর মধ্যে কয়টি সমান্তর মধ্যক থাকবে?
Ο ক) 11
Ο খ) 10
Ο গ) 9
Ο ঘ) 8
সঠিক উত্তর: (গ)

১৪. i. 4+8+12+16+…………..একটি সমান্তর ধারা
ii. 99 + 98 +97+………….+1ধারাটির পদসংখ্যা 99
iii. (ii) নং ধারার সাধারণ অন্তর -1
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i
Ο খ) ii
Ο গ) iii
Ο ঘ) i, ii ও iii
সঠিক উত্তর: (ঘ)

১৫. নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর:
i. 13+23+33+…….. ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি 1296
ii. 2+4+6+8+………ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি = 112
iii. 1+3+5+…………ধারাটির পথম 10টি পদের সমষ্টি = 100
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i
Ο খ) i ও iii
Ο গ) ii
Ο ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (খ)

১৬. log9+log 27 + log 81 +……………….ধারাটির সাধারণ অন্তর নিচের কোনটি?

Ο ক) log (
Ο খ) log3
Ο গ) -log3
Ο ঘ) -2log3
সঠিক উত্তর: (খ)

১৭. 2+4+6+……….ধারাটির কোন পদ 302?
Ο ক) 100
Ο খ) 120
Ο গ) 130
Ο ঘ) 140
সঠিক উত্তর: (ক)

১৮. প্রথম 7 টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি কত?
Ο ক) 14
Ο খ) 28
Ο গ) 42
Ο ঘ) 56
সঠিক উত্তর: (খ)

১৯. প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 81 হলে, n এর সঠিক মান নিচের কোনটি?
Ο ক) 9
Ο খ) 7
Ο গ) 6
Ο ঘ) 11
সঠিক উত্তর: (ক)

২০. 30+25+20+….25 হলে-
i. ধারাটি প্রথম পদ 3, সাধারণ অন্তর 5
ii. ধারাটির সপ্তম পদ 0
iii. ধারাটির 12 তম পদ -25
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i
Ο খ) ii
Ο গ) ii ও iii
Ο ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (গ)

২১. 4+6+8+10+………+20 ধারাটিতে কয়টি পদ আছে?
Ο ক) 8
Ο খ) 9
Ο গ) 10
Ο ঘ) 11
সঠিক উত্তর: (খ)

২২. স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার n তম পদ নিচের কোনটি?
Ο ক) 2n
Ο খ) 2n + 1
Ο গ) 2n – 1
Ο ঘ) 2n + 1
সঠিক উত্তর: (ক)

২৩. 2+4+6+8+…….ধারাটির প্রথম পদ নিচের কোনটি?

Ο ক) 4
Ο খ) 2
Ο গ) 1
Ο ঘ) 8
সঠিক উত্তর: (খ)

২৪. -10-7-4-1+…………হলে-
i. ধারাটি একটি সমান্তর ধারা
ii. ধারাটির সপ্তম পদ = 8
iii. ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা
নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) i ও ii
Ο খ) ii
Ο গ) iii
Ο ঘ) i
সঠিক উত্তর: (ক)

২৫. কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সবসময় সমান হলে তাকে কী বলে?
Ο ক) অসসীম ধারা
Ο খ) সসীম ধারা
Ο গ) সমান্তর ধারা
Ο ঘ) গুণোত্তর ধারা
সঠিক উত্তর: (গ)

২৬. একটি সমান্তর ধারার 9 তম পদ 77 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
Ο ক) d + 7a = 77
Ο খ) d + 8a = 77
Ο গ) a + 7 d = 77
Ο ঘ) a + 8d = 77
সঠিক উত্তর: (ঘ)

২৭. প্রশ্নঃ ২ + ৪ + ৮ + ১৬ + ……………. ধারাটির সংখ্যক n পদের সমষ্টি ২৫৪ হলে n এর মান কত?

ক.

৪
খ.

৫
গ.

৬
ঘ.

৮

উত্তরঃ ঘ

২৮. প্রশ্নঃ ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১,……….. ধারাটির দশম পদ —

ক.

৪৫
খ.

৫৫
গ.

৬২
ঘ.

৬৫

উত্তরঃ খ

২৯. প্রশ্নঃ ১৯, ৩৩, ৫১, ৭৩,………। পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

ক.

৮৫
খ.

১২১
গ.

৯৯
ঘ.

৯৮

উত্তরঃ গ

৩০. প্রশ্নঃ ২ + ৬ + ১৮ + ……………ধারাটির ৮ পদের সমষ্টি কত?

ক.

৬৫২০
খ.

৬৫৩০
গ.

৬৫৪০
ঘ.

৬৫৬০

উত্তরঃ ঘ

পরিশেষে বললো, এগুলোই বেশি বেশি অনুশীলন করলে সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা সম্পর্কে সম্পূর্ণ ধারনা হয়ে যাবে।

আমাদের পোষ্ট গুলো প্রতিনিয়ত আপডেট করা হয়। বিসিএস,প্রাইমারি সহ সব পরীক্ষার প্রতিনিয়ত প্রশ্ন অনুযায়ী পোষ্ট গুলো আমরা আপডেট করি। সবার জন্য শুভ কামনা রইলো।

এতক্ষন আমাদের সাথে থাকার জন্য ধন্যবাদ!

সমান্তর ধারা:

৪। সসীম ধারা কাকে বলে?

৬। সমান্তর ধারা কাকে বলে?

সমান্তর ধারা

সমান্তর ধারার সূত্রঃ

গুণোত্তর ধারা

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ

সুতরাং সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা n তম পদ

অংক সমস্যা ও সমাধান

সমান্তর ধারা-

উদাহরণ-১

উদাহরণ-২

উদাহরণ-৩

নিচের তথ্যের আলোকে ৪-৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

১০. 8+16+24+………ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

১১. 5+11+17+23+……..+59=কত?

১২. 29+25+21+……-23=কত?

১৩. কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

১৪. একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ -20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

উদাহরণ- ১৫

উদাহরণ-১৬

গুণোত্তর ধারা-

গুণোত্তর ধারার সূত্রাবলি

অসীম ধারার বিশেষ সূত্র

গুণোত্তর ধারা বিভিন্ন পরীক্ষায় আসা উদাহরণ-

৩. ধারাটির সাধারণ অন্তর কোনটি?

৭. 128+64+32+…… ধারাটির কোন পদ ½

৯. (1/√2)-1+√2- ……….. ধারাটির কোন পদ 8√2?

১০. 5+x+y+135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।

১১. 3+x+y+z+243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x, y এবং z এর মান নির্ণয় কর।

১২. 2-4+8-16+…….. ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত?

১৩. 1-1+1-1+………ধারাটির (2n+1) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

১৪. log2+log4+log8+………ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

১৫. log2+log16+log512+………..ধারাটির প্রথম বারটি পদের সমষ্টি কত?

এবার আমরা বিসিএস সহ বিভিন্ন পরীক্ষায় আসা এমসিকিউ দেখে নেই।

১. প্রশ্নঃ 5 + 8 + 11 + 14 + ……………. ধারার কোন পদ 302?

২. প্রশ্নঃ ৮১, ২৭, .., ৩, ১; লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

৩.প্রশ্নঃ একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ ১, শেষ পদ ৯৯ এবং সমষ্টি ২৫০০ হলে ধারাটির সাধারণ অন্তর হবে—

৩. সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৫, সাধারণ অনুপাত 3 হলে-

Ο ক) a Ο খ) a + 5d Ο গ) a + 4d Ο ঘ) a + 3d সঠিক উত্তর: (গ)

Ο ক) 6 Ο খ) 7 Ο গ) 8 Ο ঘ) 9 সঠিক উত্তর: (ক)

Ο ক) 41 Ο খ) 39 Ο গ) 38 Ο ঘ) 37 সঠিক উত্তর: (ক)

Ο ক) log ( Ο খ) log3 Ο গ) -log3 Ο ঘ) -2log3 সঠিক উত্তর: (খ)

Ο ক) 4 Ο খ) 2 Ο গ) 1 Ο ঘ) 8 সঠিক উত্তর: (খ)

২৭. প্রশ্নঃ ২ + ৪ + ৮ + ১৬ + ……………. ধারাটির সংখ্যক n পদের সমষ্টি ২৫৪ হলে n এর মান কত?

২৮. প্রশ্নঃ ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১,……….. ধারাটির দশম পদ —

২৯. প্রশ্নঃ ১৯, ৩৩, ৫১, ৭৩,………। পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

৩০. প্রশ্নঃ ২ + ৬ + ১৮ + ……………ধারাটির ৮ পদের সমষ্টি কত?

Leave a Reply Cancel reply

সুতরাং সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা n তম পদ $= a + (n - 1)d$

Ο ক) a
Ο খ) a + 5d
Ο গ) a + 4d
Ο ঘ) a + 3d
সঠিক উত্তর: (গ)

Ο ক) 6
Ο খ) 7
Ο গ) 8
Ο ঘ) 9
সঠিক উত্তর: (ক)

Ο ক) 41
Ο খ) 39
Ο গ) 38
Ο ঘ) 37
সঠিক উত্তর: (ক)

Ο ক) log (
Ο খ) log3
Ο গ) -log3
Ο ঘ) -2log3
সঠিক উত্তর: (খ)

Ο ক) 4
Ο খ) 2
Ο গ) 1
Ο ঘ) 8
সঠিক উত্তর: (খ)