সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা

সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা: সংজ্ঞা  নির্দিষ্ট বা অনির্দিষ্ট সংখ্যক যদি সংখ্যা নিয়ে গঠিত কোন অনুক্রমের যেকোন দুটি ধারাবাহিক পদের মধ্যে অন্তর সর্বদা যদি একটি ধ্রুব সংখ্যা হয়, তবে এই অনুক্রমকে সমান্তর প্রগমন বা সমান্তর প্রগতি বলা হয়।

অনুক্রম কাকে বলে

উত্তর: অনুক্রম হচ্ছে কতকগুলো সংখ্যা বা রাশিকে একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে ধারাবাহিকভাবে সাজানোর প্রক্রিয়া।

পদ কাকে বলে

উত্তর: অনুক্রমের প্রত্যেকটি সংখ্যা বা রাশিকে পদ বলা হয়।

ধারা কাকে বলে

উত্তর: অনুক্রমের সংখ্যা বা রাশিগুলোর সমষ্টিকে ধারা বলা হয়।

সসীম ধারা কাকে বলে

উত্তর: ধারার পদ সংখ্যা যদি নির্দিষ্ট বা সসীম হয়, তাহলে তাকে সসীম ধারা বলে। সসীম ধারার অপর নাম সান্ত ধারা।

অসীম ধারা কাকে বলে

উত্তর: কোন ধারার পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে বা অসীম হলে তাকে অসীম ধারা বলে।

সমান্তর ধারা কাকে বলে

উত্তর: যে ধারায় ২য় পদ থেকে ১ম পদ বিয়োগ করলে একই সংখ্যা বা রাশি পাওয়া যায় তাকে সমান্তর ধারা বলে।

গুণোত্তর ধারা কাকে বলে

উত্তর: যে ধারার কোন পদের সাথে তার পরবর্তী পদের অনুপাত বা ভাগফল সমান হয় তাকে, গুণোত্তর ধারা বলা হয়। (সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা)

সমান্তর ধারা

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য (বিয়োগফল) সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে। সমান্তর ধারা সসীম বা অসীম যেকোনোটি হতে পারে। যেমন:

সাধারণত সমান্তর ধারার ১ম পদকে  a  এবং সাধারণ অন্তরকে  d  দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, ধারাটির

২য় পদ 

৩য় পদ 

৪র্থ পদ 

সুতরাং ধারাটি 

সমান্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র

১. 1+2+3+4+……+ n হলে এরূপ ধারার সমষ্টি = [n(n+1)/2]

২. ১ম n পদের বর্গের সমষ্টি = [n(n+1)(2n+1)]/6

1²+2² + 3²+……+ n²= [n(n+1)(2n+1)]/6

৩. ১ম n পদের ঘনের সমষ্টি = [n(n+1)/2]²

1³ + 2³ + 3³+……+n³= [n(n+1)/2]²

৪. পদ সংখ্যা = [(শেষ পদ – প্রথম পদ)/ সাধারণ অন্তর] + ১

Number of terms (Last Term – first Term/ Difference)+1

৫. সমষ্টি/ যোঘফল = [(১ম পদ + শেষ পদ) x পদসংখ্যা] / 2

And Sum = [(First Term+ Last term) x Number of Terms] / 2

৬. n তম পদ = a + (n-1)d ‌

এখানে,

n = পদসংখ্যা

a = ১ম পদ

d = সাধারণ অন্তর

৭. গড়= (প্রথম পদ + শেষ পদ) / ২

৮. সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র ( n সংখ্যক পদের সমষ্টি) = n/2[2a+(n-1)d]

৯. প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = n²

১০. প্রথম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)

১১. বৃহত্তম সংখ্যা = (সমষ্টি + অন্তর) / ২

১২. ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ( সমষ্টি – অন্তর) / ২

১৩. ধারার n তম পদ = a+(n – 1) .d

যেখানে,

d = সাধারণ অন্তর

n = পদসংখ্যা

a = প্রথম পদ (সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা)

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ

কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ  a  এবং সাধারণ অন্তর  d হলে, ধারাটির

১ম পদ             

২য় পদ      

৩য় পদ   

৪র্থ পদ     ইত্যাদি

সুতরাং সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা n তম পদ  

সমান্তর ধারার অংক সমাধান

উদাহরণ-১

একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:

n তম পদ  

Ans. 

উদাহরণ-২

একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান:

ধারাটির n তম পদ  

সুতরাং ধারাটির দশম পদ 

Ans. 

উদাহরণ-৩

 ধারাটির কোন পদ 250 ?

সমাধান:

ধারাটির ১ম পদ , সাধারণ অন্তর 

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 250

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ  

সুতরাং

=>

বা, 

=> 

সুতরাং,  তম পদ 250

Ans.  তম পদ

নিচের তথ্যের আলোকে ৪-৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

7+13+19+25+…….. একটি ধারা।

৪. ধারাটির 15 তম পদ কোনটি?

ক) 85   খ) 91   গ) 97    ঘ) 104

উত্তরঃ খ

৫. ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত?

ক) 141   খ) 1210   গ) 1280   ঘ) 2560

উত্তরঃ গ

৬. 2-5-12-19-…….. ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12 তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, এর প্রথম পদ a=2

সাধারণ অন্তর d=২য় পদ-১ম পদ=(-5)-2=-5-2=-7

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ =a+(n-1)d

∴ধারাটির 12 তম পদ

= a+(12-1)d

=2+11.(-7)

=2-77

=-75

∴ধারাটির সাধারণ অন্তর -7 এবং 12 তম পদ -75

৭. 8+11+14+17+…..ধারাটির কোন পদ 392?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

এর ১ম পদ a=2

সাধারণ অন্তর d=11-8=3

মনে করি, n তম পদ=392

তাহলে,

a+(n-1)d=392

=>  8+(n-1)3=392

  (n-1)3=392-8

  3n-3=384

=> 3n=384+3

  3n=387

  n=387/3

  n=129

অতএব, ধারাটির 129 তম পদ 392.

৮. 4+7+10+13+…….ধারাটির কোন পদ 301?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

এর ১ম পদ a=4

সাধারণ অন্তর d=7-4=3

মনে করি, r তম পদ=301

তাহলে,

a+(r-1)d=301

  4+3r-3=301

  3r+1=301

  3r=301-1

  3r=300

  r=300/3

  r=100

অতএব, ধারাটির 100 তম পদ 301.

লাভ ও ক্ষতি সব বিসিএস এর সব অংক সমাধান

৯. 1+3+5+7+……ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

প্রথম পদ a=1

সাধারণ অন্তর, d=3-1=2

পদসংখ্যা=n

ধারাটির সমষ্টি

    n

=—– {2a+(n-1)d}

    2

    n

=—– {2.1+(n-1)2}

    2

    n

=—– {2+2n-2}

    2

    n

=—– ✕2n

    2

=n²

∴ ধারাটির n পদের সমষ্টি n²

১০. 8+16+24+………ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

ধারার ১ম পদ a=8

সাধারণ অন্তর d=16-8=8

পদের সংখ্যা n=9

সমষ্টি

    n

=—– {2a+(n-1)d}

    2

∴9টি পদের সমষ্টি

    9

=—– {2.8+(9-1)8}

    2

    9

=—– (16+64)

    2

    9

=—– ✕80

    2

=360

∴ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি 360

১১. 5+11+17+23+……..+59=কত?

সমাধানঃ

ধারাটি সমান্তর ধারা,

এখানে, ১ম পদ, a=5

সাধারণ অন্তর, d=11-5=6

মনে করি, n তম পদ =59

∴ a+(n-1)d=59

  5+(n-1)6=59

  (n-1)6=54

  (n-1)=9

  n=9+1

  n=10

∴ধারাটির সমষ্টি

    n

=—– {2a+(n-1)d}

    2

   10

=—– {2.5+(10-1).6}

    2

   10

=—– {10+54}

    2

=5✕64

=320

১২. 29+25+21+……-23=কত?

সমাধানঃ

ধারাটি সমান্তর ধারা,

এখানে, ১ম পদ, a=29

সাধারণ অন্তর, d=25-29=-4

মনে করি, n তম পদ =-23

∴ a+(n-1)d=59

  29+(n-1)(-4)=-23

  -4(n-1)=-23-29

  -4(n-1)=-52

  -4n+4=-52

  -4n=-52-4

  -4n=-56

  n=14

∴ধারাটির সমষ্টি

    n

=—– {2a+(n-1)d}

    2

   14

=—– {2.29+(14-1).(-4)}

    2

   14

=—– {58-52}

    2

=7✕6

=42

১৩. কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

ধারাটির প্রথম পদ=a

সাধারণ অন্তর=d

12 তম পদ

=a+(12-1)d

=a+11d

প্রশ্ন অনুসারে,

a+11d=77

∴ধারাটির প্রথম 23 পদের সমষ্টি

    23

=—– {2a+(23-1)d}

    2

    23

=—– (2a+22d)

    2

    23

=—– 2(a+11d)

    2

=23(a+11d)

=23✕77

=1771

১৪. একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ -20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

ধারাটির প্রথম পদ=a

সাধারণ অন্তর=d

16 তম পদ

=a+(16-1)d

=a+15d

প্রশ্ন অনুসারে,

a+15d=-20

∴ধারাটির প্রথম 31 পদের সমষ্টি

   31

=—– {2a+(31-1)d}

    2

   31

=—– (2a+30d)

    2

    31

=—– 2(a+15d)

    2

=31(a+11d)

=31✕-20

=-620

উদাহরণ- ১৫

2+4+6+8+10+……..+256 ধারাটিতে মোট কতটি পদ আছে ?

সমাধান:

ধারাটির ১ম পদ , সাধারণ অন্তর 

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 256

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ  

সুতরাং

সুতরাং  তম পদ 256

অতএব,

ধারাটিতে 128 টি পদ আছে।

Ans.  টি পদ।

উদাহরণ-১৬

কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, (m+n) তম পদ কত ?

সমাধান:

মনে করি, ধারাটির ১ম পদ  এবং সাধারণ অন্তর 

সমান্তর ধারার n তম পদ  

এবং m তম পদ  

সুতরাং

————————————————-

d (m – n) = n – m [বিয়োগ করে]

এখন,

 তম পদ 

Ans. 

গুণোত্তর ধারা-

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে। গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে প্রথম পদ = a, সাধারণ অনুপাত = r হলে, n তম পদ (সাধারণ পদ) = ar^n-1।

গুণোত্তর ধারা সূত্র

১. a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

             c+d

ক) b= ———-

                2

             b+c

খ) a= ———-

                2

             b+d

গ) c= ———-

                2

             a+c

ঘ) d= ———-

                2

উত্তরঃ গ

২. n ∈ N এর জন্য

            n²+n

(i) Σi=———

                2

               1

(ii) Σi² =—– n(n+1)(n+2)

            6

             n²(n²+2n+1)

(iii) Σi³ =——————

                 4

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii    খ) i ও iii   গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ খ

নিচের ধারাটির ভিত্তিতে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

log2+log4+log8+……..

৩. ধারাটির সাধারণ অন্তর কোনটি?

ক) 2   খ) 4   গ) log2   ঘ) 2log2

উত্তরঃ গ

৪. ধারাটির সপ্তম পদ কোনটি?

ক) log32   খ) log64   গ) log128   ঘ) log256

উত্তরঃ গ

৫. 64+32+16+8+……….ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=64

সাধারণ অনুপাত r

   32

=——

    64

   1

=—-

    2

ধারাটির অষ্টম পদ

= ar^8-1

=64.( ½)⁷

    64

=——

    2⁷

    64

=——-

    128

     1

=——

     2

৬. 3+9+27+……….ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=3

সাধারণ অনুপাত r=9/3=3

এবং পদ সংখ্যা n=14

যেহেতু সাধারণ অনুপাত, 3>1

সমষ্টি S

    a(rⁿ-1)

=———-

      r-1

    3(3¹⁴-1)

=———-

      3-1

    3(4782969-1)

=——————-

           2

    3✕4782968

=—————–

           2

=7174452

৭. 128+64+32+…… ধারাটির কোন পদ ½

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এখানে, প্রথম পদ a= 128

সাধারণ অনুপাত r=64/128=½

প্রশ্নমতে,

ar^n-1=½

 128.( ½)^n-1=½

                       1

 (½)^n-1=————

                   2✕128

        1                1

 ——– = ———-

      2^n-1            256

        1                1

 ——– = ———-

      2^n-1              2⁸

 n-1=8

 n=8+1

 n=9

∴ ধারাটির নবম পদ ½

৯. (1/√2)-1+√2- ……….. ধারাটির কোন পদ 8√2?

সমাধানঃ

ধরি, ধারাটির n তম পদ=8√2

                  1

প্রথম পদ, a=———

                 √2

সাধারণ অনুপাত, r=-√2

প্রশ্নমতে,

ar^n-1=8√2

     1

 ——.(-√2)^n-1=8√2

    √2

 (-√2)^n-1=8√2✕√2

 (-√2)^n-1=8✕2

 (-√2)^n-1=16

      (-√2)ⁿ

 ———– = 16

       -√2

 (-√2)ⁿ=16✕(-√2)

 (-√2)ⁿ=(-√2)⁹

 n=9

∴ধারাটির নবম পদ 8√2

১০. 5+x+y+135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a = 5

মনে করি, সাধারণ অনুপাত = r

তাহলে, দ্বিতীয় পদ, ar^2-1=ar=x

তৃতীয় পদ, ar^3-1=ar²=y

এবং, চতুর্থ পদ, ar^4-1=135

  ar³=135

  5.r³=135

  r³=135/5

=>  r³=27

,  r³=3³

,  r=3

তাহলে, দ্বিতীয় পদ, ar=5.3=15

তৃতীয় পদ, ar²=5.3²=5.9=45

১১.  3+x+y+z+243  গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x, y এবং z এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ a=3

মনে করি, সাধারণ অনুপাত = r

তাহলে, দ্বিতীয় পদ ar=x

তৃতীয় পদ ar²=y

চতুর্থ পদ ar³=z

এবং পঞ্চম পদ ar⁴=243

  3.r⁴=243

  r⁴=243/3

 => r⁴=81

  r⁴=3⁴

  r=3

তাহলে, দ্বিতীয় পদ ar=x=3.3=9

তৃতীয় পদ ar²=y=3.3²=3.9=27

চতুর্থ পদ ar³=z=3.3³=3.27=81

১২. 2-4+8-16+…….. ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=2

সাধারণ অনুপাত, r=-4/2=-2

পদসংখ্যা n=7

যেহেতু সাধারণ অনুপাত -2<1,

∴সমষ্টি S

    (1-rⁿ)

a.———

     1-r

       1-(-2)⁷

=2.———-

       1-(-2)

       1+128

=2.———-

        1+2

       129

=2.——–

         3

=86

∴ ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি 86

১৩. 1-1+1-1+………ধারাটির  (2n+1) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এখানে, প্রথম পদ, a=1

সাধারণ অন্তর, r=-1/1=-1

পদ সংখ্যা q= 2n+1

যেহেতু সাধারণ অনুপত -1<1,

সুতরাং, সমষ্ট S

a(1-r^q)

———

  1-r

   1.{1-(-1)²ⁿ⁺¹}

=—————-

      1-(-1)

   1-(-1)

=———

    1+1

    1+1

=———

    1+1

    2

=——

    2

=1

∴ধারাটির  (2n+1) সংখ্যক পদের সমষ্টি 1

 

১৪. log2+log4+log8+………ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

ধারাটির সমষ্টি=S

তাহলে,

S= log2+log4+log8+………+দশম পদ

=log2¹+log2²+log2³+…………+log2¹⁰

=log2[1+2+3+…..+10]

=[1+2+3+….+10] ✕log2

   10(10+1)

=————✕log2

     2

                    n(n+1)

[1+2+3…n=————-]

                        2

=5(10+1) ✕log2

=5✕11✕log2

=55log2

১৫. log2+log16+log512+………..ধারাটির প্রথম বারটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটির বারটি পদের সমষ্টি

=log2+log16+log512+………..+12 তম পদ

=log2+log2⁴+log2⁹+……….+ 12 তম পদ

=1log2+4log2+9log2+……..+12 তম পদ

=(1+4+9+………..12 তম পদ)✕log2

=(1²+2²+3³+…….12²) ✕log2

   12(12+1)(2✕12+1)

=————————-✕log2

                6

=(2✕13+25)log2

=650log2

১৬. 2+4+8+16+…….ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 254 হলে, n এর মান কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর ১ম পদ a=2

সাধারণ অন্তর r=4/2=2

এবং n তম পদের সমষ্টি = 254

a(rⁿ-1)

——— = 254

  r-1

 a(rⁿ-1)=254(r-1)

  2.(2ⁿ-1)=254(2-1)

 2(2ⁿ-1))=254

  (2ⁿ-1)=254/2

  (2ⁿ-1)=127

  2ⁿ=127+1

  2ⁿ=128

  2ⁿ=2⁷

  n=7

এবার আমরা বিসিএস সহ বিভিন্ন পরীক্ষায় আসা এমসিকিউ দেখে নেই।

১. প্রশ্নঃ 5 + 8 + 11 + 14 + ……………. ধারার কোন পদ 302?