বর্গের সূত্র সমূহ
সূত্র ছাড়া বীজগণিতে সমস্যার সমাধান করা সম্ভব নয়। ছাত্র-ছাত্রী দের প্রয়োজনের দিক বিবেচনা করে আমাদের এই প্রচেষ্টা। আশাকরি এই পাঠে বর্গ সম্পর্কিত সমস্যাবলী সমাধান করতে পারবো।
বীজগণিতে সূত্রের গুরুত্ত অপরিসীম। সূত্রের সাহায্যে গণিতের সমাধান করতে হলে একটা বিষয় মাথায় রাখা প্রয়োজন যে a=১ম পদ, b=২য় পদ এবং c=৩য় পদ ধরে বীজগণিতের সমাধান করতে হবে। বীজগণিতে কোন সমস্যার সমাধান করার জন্য অবশ্যই সূত্র ভালোভাবে আয়ত্তে আনার পাশাপাশি মানের দিকে খেয়াল রাখতে হবে। মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সূত্রের প্রয়োগ ঠিক মান অনুযায়ী করতে হবে।
বর্গের সূত্র চিহ্নিত করণ ও প্রয়োগঃ
নিম্নে বর্গের ক্ষেত্রে ব্যবহার যোগ্য কিছু সূত্র এমন ভাবে উপস্থাপন করা হল যা সকলকে সহজে বুঝতে সাহায্য করবে যে, সূত্রটি কোন ক্ষেত্রে প্রয়োগ করতে হবে।
- সুত্র-১
a²+b²=(a+b)²-2ab (মান প্লাস থাকলে)
a²+b²=(a-b)²+2ab (মান মাইনাস থাকলে)
a²+b²={(a+b)²+(a-b)²}÷2 (মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-২
a²-b²=(a+b)(a-b) (উৎপাদকের ক্ষেত্রে, সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে এবং মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৩
(a+b)²=a²+2ab+b² (বর্গের ক্ষেত্রে)
(a+b)²=(a-b)²+4ab (মান মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৪
(a-b)²=a²-2ab+b² (বর্গের ক্ষেত্রে)
(a-b)²=(a+b)²-4ab (মান প্লাস থাকলে)
- সূত্র-৫
2a²+2b² বা 2(a²+b²)=(a+b)²+(a-b)² (মান প্লাস মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৬
ab={(a+b)÷2}²-{(a-b)÷2}² (মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে এবং দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের ক্ষেত্রে)
ab={(a+b)²-(a-b)²}÷4 (মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৭
4ab=(a+b)²-(a-b)² (মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৮
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca (৩টি পদের বর্গের ক্ষেত্রে)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) (৩টি পদের বর্গের ক্ষেত্রে)
নবম দশম শ্রেণীর গণিত সমাধান ৩.১
- সূত্র-৯
(a+b)(a+c)=a²+(b+c)a+bc (সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে)
- সূত্র-১০
(a+b)(a-c)=a²+(b-c)a-bc (সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে)
- সূত্র-১১
(a-b)(a+c)=a²-(b-c)a-bc (সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে)
- সূত্র-১২
(a-b)(a-c)=a²-(b+c)a+bc (সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে)
সূত্র সম্পর্কিত একটি বিশেষ ব্যপার সকলকে অবশ্যই মনে রাখতে হবে সেটা হল, বর্গক্ষেত্র সম্পর্কিত ধারনা। বর্গ বা বর্গ ক্ষেত্র বলতে আমরা সাধারন্ত সেই চতুর্ভুজ কে বুঝি যার প্রত্যেকটি বাহু সমান এবং কোন গুলো সমকোন বা ৯০°। যেহেতু বর্গের প্রত্যেকটি বাহু সমান এবং কোন গুলো সমকোন তাই বর্গ কে একটি আয়ত বলা চলে। আয়ত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল সন্নিহিত বাহু দুটির বা দৈর্ঘ ও প্রস্থের গুন ফল। বর্গের প্রতিটি বাহু সমান বলে, একটি বাহু a ধরলে সন্নিহিত বাহুটিও a হবে। সুতারং ক্ষেত্রফল দাড়াবে a গুন a = a² বা a এর বর্গ। তাই বর্গ বলতে কোন সংখ্যার উপর স্কয়ার বা বর্গ বুঝায়।
বর্গ ও বর্গ সম্পর্কিত সমস্যাবলি:
১. সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় করঃ
ক) 2a+3b
সমাধানঃ
2a+3b এর বর্গ
=(2a+3b)2
=(2a)2+2.2a.3b+(3b)2
=4a2+12ab+9b2
খ) x2+2/y2
সমাধানঃ
x2+2/y2 এর বর্গ
=( x2+2/y2)2
=(x2)2+2.x2.2/y2+(2/y2)2
=x4+4x2/y2+4/y2
গ) 4y-5x
সমাধানঃ
4y-5x এর বর্গ
=(4y-5x)2
=(4y)2-2.4y.5x+(5x)2
=16y2-40xy+25x2
ঘ) 5x2-y
সমাধানঃ
5x2-y এর বর্গ
=(5x2-y)2
=(5x2)2-2.5x2.y+y2
=25x4-10x2y+y2
ঙ) 3b-5c-2a
সমাধানঃ
3b-5c-2a এর বর্গ
=(3b-5c-2a)2
={(3b-5c)-2a}2
=(3b-5c)2-2.(3b-5c).2a+(2a)2
=(3b)2-2.3b.5c+(5c)2-(6b+10c).2a+4a2
=9b2-30bc+25c2-12ab-20ac+4a2
চ) ax-by-cz
সমাধানঃ
ax-by-cz এর বর্গ
=( ax-by-cz)2
={(ax-by)-cz}2
=(ax-by)2-2.(ax-by).cz+(cz)2
=(ax)2-2.ax.by+(by)2-2axcz+2bycz+c2z2
=a2x2-2axby+b2y2-2axcz+2bycz+c2z2
ছ) 2a+3x-2y-5z
সমাধানঃ
2a+3x-2y-5z এর বর্গ
=(2a+3x-2y-5z)2
={(2a+3x)-(2y+5z)}2
=(2a+3x)2-2.(2a+3x).(2y+5z)+(2y+5z)2
= (2a)2+2.2a.3x+(3x)2-2.(4ay+6xy+10az+15xz+(2y)2+2.2y.5z+(5z)2
=4a2+12ax+9x2-8ay-12xy-20az-30xz+4y2+20yz+25z2
জ) 1007
সমাধানঃ
1007 এর বর্গ
=(1000+7)2
=(1000)2+2.1000.7+(7)2
=1000000+14000+49
=1014049
[ বি:দ্র: উত্তর দাতা ইসমাইল হোসেন ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (ওয়ান সেকেন্ড স্কুল )]
২. সরল করঃ
ক) (7p+3q-5r)2-2(7p+3q-5r)(8p-4q-5r)+(8pp-4q-5r)2
সমাধানঃ
ধরি, 7p+3q-5r=a
এবং, 8p-4q-5r=b
∴প্রদত্ত রাশি
=a2-2.a.b+b2
=(a-b)2
={(7p+3q-5r)-(8p-4q-5r)}2 [মান বসিয়ে]
=(7p+3q-5r-8p+4q+5r)2
=(7q-p)2
=(7q)2-2.7q.p+(p)2
=49q2-14pq+p2
খ) (2m+3n-p)2+(2m-3n+p)2-2(2m+3n-p)(2m-3n+p)
সমাধানঃ
মনে করি, a=2m+3n-p
এবং b=2m-3n+p
প্রদত্ত রাশি
=a2+b2-2.a.b
=(a-b)2
={(2m+3n-p)-(2m-3n+p)}2 [মান বসিয়ে]
=(2m+3n-p-2m+3n-p)2
=(6n-2p)2
=(6n)2-2.6n.2p+(2p)2
=36n2-24np+4p2
গ) 6.35✕6.35+2✕6.35✕3.65+3.65✕3.65
সমাধানঃ
6.35✕6.35+2✕6.35✕3.65+3.65✕3.65
=(6.35)2+2✕6.35✕3.65+(3.65)2
=(6.35+3.65)2
=(10)2
=100
৩. a-b=4 এবং ab=60 হলে, a+b এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a-b=4 এবং ab=60
আমরা জানি,
(a+b)2=(a-b)2+4ab
বা, (a+b)2=42+4✕60
বা, (a+b)2=16+240 [মান বসিয়ে]
বা, (a+b)2=256
বা, a+b=±√256
বা, a+b=±16
৪. a+b=9m এবং ab=18m2 হলে, a-b এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a+b=9m এবং ab=18m2
আমরা জানি,
(a-b)2
=(a+b)2-4ab
=(9m)2-4✕18m2 [মান বসিয়ে]
=81m2-72m2
=9m2
∴(a-b)= ±√9m2=±3m
৫. x-1/x=4 হলে, প্রমান কর যে, x4+1/x4=322.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
x-1/x=4
বা, (x-1/x)2=42
বা, x2-2.x.1/x+(1/x)2=16
বা, x2-2+1/x2=16
বা, x2+1/x2=16+2
বা, x2+1/x2=18
বা, (x2+1/x2)2=(18)2
বা, (x2)2+2.x2.1/x2+(1/x2)2=324
বা, x4+2+1/x4=324
বা, x4+1/x4=324-2
বা, x4+1/x4=322 (প্রমাণিত)
৬. 2x+2/x=3 হলে, x2+1/x2 এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2x+2/x=3
বা, 2(x+1/x)=3
বা, x+1/x=3/2
বা, (x+1/x)2=(3/2)2
বা, x2+2.x.1/x+(1/x)2=9/4 (বর্গ করে)
বা, x2+1/x2+2=9/4
বা, x2+1/x2=9/4-2
বা, x2+1/x2=(9-8)/4
বা, x2+1/x2=1/4
[ বি:দ্র: উত্তর দাতা ইসমাইল হোসেন ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (ওয়ান সেকেন্ড স্কুল )]
৭. a+1/a=2 হলে, দেখাও যে, a2+1/a2=a4+1/a4
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
a+1/a=2
বা, (a2+1)/a=2
বা, a2+1=2a
বা, a2-2a+1=0
বা, (a-1)2=0
বা, a-1=0
বা, a=1
এখন,
বামপক্ষ= a2+1/a2=12+1/12=2
ডানপক্ষ= a4+1/a4=14+1/14=2
∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
৮. a+b=√7 এবং a-b=√5 হলে, প্রমাণ কর যে, 8ab(a2+b2)=24.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a+b=√7 এবং a-b=√5
বামপক্ষ
=8ab(a2+b2)
=4ab✕2(a2+b2)
={(a+b)2-(a-b)2}{{(a+b)2+(a-b)2} [অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করে]
={(√7)2-(√5)2}{(√7)2+(√5)2}
=(7-5)(7+5)
=2✕12
=24
=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
৯. a+b+c=9 এবং ab+bc+ca=31 হলে, a2+b2+c2 এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a+b+c=9 এবং ab+bc+ca=31
আমরা জানি,
a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
=92-2.31 [মান বসিয়ে]
=81-62
=19
১০. a2+b2+c2 =9 এবং ab+bc+ca=8 হলে, (a+b+c)2 এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a2+b2+c2 =9 এবং ab+bc+ca=8
আমরা জানি,
(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=9+2.8 [মান বসিয়ে]
=9+16
=25
১১. a+b+c=6 এবং a2+b2+c2 =14 হলে, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2= কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a+b+c=6 এবং a2+b2+c2 =14
এখন,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2
=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+c2
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca
=2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)
=2(a2+b2+c2)+( a2+b2+c2)-(a+b+c)2 [a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)]
=2*14+14-62
=28+14-36
=42-36
=6
১২. x=3, y=4 এবং z=5 হলে,9x2+16y2+4z2-24xy-16yz+12zx= কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, x=3, y=4 এবং z=5
এখন,
9x2+16y2+4z2-24xy-16yz+12zx
=(3x)2+(-4y)2+(2z)2+2.3x(-4y)+2.(-4y).2z+2.2z.3x
={3x+(-4y)+2z}2
=(3x-4y+2z)2
=(3.3-4.4+2.5)2
=(9-16+10)2
=32
=9
১৩. (a+2b)(3a+2c) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।
১৪. x2+10x+24 কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরুপে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
x2+10x+24
=x2+2.x.5+52-1
=(x+5)2-12 [এটিই দুইটি বর্গের বিয়োগফল]
১৫. a4+a2b2+b4=8 এবং a2+ab+b2=4 হলে, ক) a2+b2, খ) ab এর মান কত?
সমাধানঃ
(ক)
দেওয়া আছে,
a4+a2b2+b4=8 ………….(1)
a2+ab+b2=4 ……………..(2)
(1)….হতে,
a4+a2b2+b4=8
বা, (a2)2+2.a2.b2+(b2)2-a2b2=8
বা, (a2+b2)2-(ab)2=8
বা, (a2+b2+ab)(a2+b2-ab)=8
বা, 4(a2+b2-ab)=8
বা, a2+b2-ab=8/4=2……………..(3)
(2)+(3) করে পাই,
2a2+2b2=4+2
বা, a2+b2=6/2
বা, a2+b2=3
(খ)
(2)-(3) করে পাই,
2ab=4-2
বা, ab=2/2
বা, ab=1
সূত্রগুলো আয়ত্তে আনলে আশাকরি সহজে সমস্যার সমাধান করতে পারবেন। অন্যান্য সূত্র পেতে নিজ নিজ ক্লাস অপশনে ক্লিক করে জেনে নিবেন।
আপনার কোন মতামত বা পরামর্শ থাকলে আমাদের লিখে জানাতে পারেন। বর্গ সম্পর্কে কোন প্রশ্ন বা মতামত থাকলে কমেন্ট বক্সে লিখে জানাতে ভুলবেন না। আমাদের Facebook পেজে যেতে এখানে ক্লিক করুন।