সেট

সেট তালিকা পদ্ধতিঃ

গণিত শাস্ত্রে কোন সেটকে প্রকাশ করার দুইটি প্রচলিত পদ্ধতির মধ্যে এটি অন্যতম। (আরেকটি হচ্ছে তালিকা পদ্ধতি)। সেট গঠনকারী পদ্ধতিতে সকল জোড় সংখ্যার সেটকে প্রকাশ করার উপায়:{x : x % ২ = ০} বা {x | x % ২ = ০} (পড়তে হবে, x, যেন, x মড দুই সমান শূন্য)।

১. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ

ক) {x ∈ N : x² > 9 এবং x²<130}

সমাধানঃ

আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={1,2,3,4,5,6,7……..}
যেসব স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ 9 অপেক্ষা বড় সেগুলো হলো 4,5,6,7……
কারণ x=4 হলে 4²>9
x=5 হলে 5²>9 ইত্যাদি।
আবার যেসব স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন 130 অপেক্ষা ছোট সেগুলো হলো 1,2,3,4,5.
কারণ, x=1 হলে, 1³<136
x=2 হলে, 2³<136
x=3 হলে, 3³<136
x=4 হলে, 4³<136
x=5 হলে, 5³<136
কিন্তু, x=6 হলে, 6³≮136
এ থেকে দেখা যায়, শুধু স্বাভাবিক সংখ্যা x=4 এর ক্ষেত্রে 4²>9 এবং 5 এর ক্ষেত্রে 5²>9 এবং 5³<136 শর্তদ্বয় পূরণ হয়।
তাহলে, নির্ণেয় সেট={4,5}

খ) {x ∈ Z : x²>5 এবং x³≤36}

সমাধানঃ

পূর্ণ সংখ্যার সেট, Z={….-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6….}
এবং 5 থেকে বড় যেসব সংখ্যার বর্গ সেগুলো হলোঃ 3,4,5,6…
কারণ, x=-3 হলে (-3)²>5
x=-4 হলে (-4)²>5
x=3 হলে 3²>5
x=4 হলে 4²>5
আবার, 36 অপেক্ষা ছোট বা সমান যেসব সংখ্যার ঘন সে সংখ্যাগুলো 1,2,3.
কারণ x=1 হলে 1³<36
x=2 হলে 2³<36
x=3 হলে 3³<36
কিন্তু, x=4 হলে 4³≮36
সুতরাং, x=±3, ±4, ±5, ±6
তাহলে, নির্ণেয় সেট={±3, ±4, ±5, ±6}

গ) {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক}

সমাধানঃ

এখানে, N={1,2,3,4…….}
36=1✕36=2✕18=3✕12=4✕9=6✕6
36 এর গুণনীয়কগুলো হলো=1,2,3,4,5,6,9,12,18,36
এবং 6 এর গুণিতক হলোঃ 6,12,18,36……..
∴নির্ণেয় সেট={6,12,18,36}

ঘ) {x ∈ N : x³>25 এবং x⁴<264}

সমাধানঃ

এখানে, N={1,2,3,4,5,6……}
x³>25 হবে যদি x=1,2 হয়।
কারণ,
x=1 হলে 1³<25
x=2 হলে 2³<25
আবার, x⁴<264 এর ক্ষেত্রে x=1,2,3,4 হবে,
কারণ,
x=1 হলে 1⁴<264
x=2 হলে 2⁴<264
x=3 হলে 3⁴<264
x=4 হলে 4⁴<264
x=5 হলে 5⁴≮264
∴x=2 এর ক্ষেত্রে x³>25 এবং x⁴<264 সত্য হয়।
∴নির্ণেয় সেট={2}

২. নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ

ক) {3,5,7,9,11}

সমাধানঃ

ধরি, A={3,5,7,9,11}
তাহলে, x এর মান সর্বনিন্ম 3 ও সর্বোচ্চ 11 এবং এর বিজোড় সংখ্যা।
∴ A={x ∈ N : x, স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যেখানে, 3≤x≤11}

খ) {1,2,3,4,6,9,12,18,36}

সমাধানঃ

ধরি, A={1,2,3,4,6,9,12,18,36}
তাহলে, x এর মানগুলো 36 এর গুণনীয়ক।
∴ A={x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক}

গ) {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40}

সমাধানঃ

ধরি, A={4,8,12,16,20,24,28,32,36,40}
তাহলে, x এর মানগুলো 4 এর গুণিতক এবং x≤40.
∴ A={x ∈ N : x, 4 এর গুণিতক এবং x≤40}

ঘ) {±4, ±5, ±6}

সমাধানঃ

ধরি, A={±4, ±5, ±6}
তাহলে x এর মান পূর্ণসংখ্যা এবং যার বর্গ 16 অপেক্ষা বড় বা সয়ান এবং ঘন 216 অপেক্ষা ছোট বা সমান।
∴ A={x ∈ Z : x²≥16 এবং x³≤216}

৩. A={2,3,4} এবং B={1,2,a} এবং C={2.a,b} হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় করঃ

ক) B\C

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, B={1,2,a} এবং C={2.a,b}
তাহলে,
B\C
={1,2,a}\{2.a,b}
={1}

খ) A ∪ B

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={2,3,4} এবং B={1,2,a}
তাহলে,
A ∪ B
= {2,3,4} ∪ {1,2,a}
={1,2,3,4,a}

গ) A ∩ C

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={2,3,4} এবং C={2.a,b}
তাহলে,
A ∩ C
={2,3,4} ∩ {2.a,b}
={2}

ঘ) A ∪ (B ∩ C)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={2,3,4} এবং B={1,2,a} এবং C={2.a,b}
তাহলে,
(B ∩ C)
= {1,2,a} ∩ {2.a,b}
={2,a}
∴A ∪ (B ∩ C)
={2,3,4} ∪ {2,a}
={2,3,4,a}

ঙ) A ∩ (B ∪ C)      

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={2,3,4} এবং B={1,2,a} এবং C={2.a,b}
তাহলে,
(B ∪ C)
={1,2,a} ∪ {2.a,b}
={1,2,a,b}
∴A ∩ (B ∪ C)
={2,3,4} ∩ {1,2,a,b}
={2}

[ বি:দ্র: উত্তর দাতা ইসমাইল হোসেন ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (ওয়ান সেকেন্ড স্কুল )]

৪. U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7} হলে, নিন্মলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই করঃ

ক) (A ∪ B)’=A’ ∩ B’

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
বামপক্ষ=(A ∪ B)’=U-( A ∪ B)
এখন, A ∪ B ={1,3,5}∪{2,4,6}={1,2,3,4,5,6}
∴ U-( A ∪ B)= {1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,3,4,5,6}={7}
∴বামপক্ষ={7}
আবার, ডানপক্ষ= A’ ∩ B’=(U-A) ∩ (U-B)
(U-A)= {1,2,3,4,5,6,7}-{1,3,5}={2,4,6,7}
(U-B) {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7}
∴ (U-A) ∩ (U-B)= {2,4,6,7} ∩ {1,3,5,7}={7}
∴ডানপক্ষ={7}
∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

খ) (B ∩ C)’=B’ ∪ C’

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
এখন, বামপক্ষ=(B ∩ C)’=U-(B ∩ C)
তাহলে, (B ∩ C)= {2,4,6}∩{3,4,5,6,7}={4,6}
∴U-(B ∩ C)= {1,2,3,4,5,6,7}-{4,6}={1,2,3,5,7}
আবার, ডানপক্ষ=B’ ∪ C’=(U-B) ∪(U-C)
তাহলে,
(U-B)= {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7)
(U-C)= {1,2,3,4,5,6,7}-{3,4,5,6,7}={1,2}
∴ (U-B) ∪(U-C)={1,3,5,7} ∪ {1,2}={1,2,3,5,7}
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

গ) (A ∪ B) ∩ C=(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
বামপক্ষ=(A ∪ B) ∩ C
যেখানে, (A ∪ B)= {1,3,5}∪{2,4,6}={1,2,3,4,5,6}
∴(A ∪ B) ∩ C={1,2,3,4,5,6} ∩ {3,4,5,6,7}={3,4,5,6}
ডানপক্ষ=(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
যেখানে, (A ∩ C)= {1,3,5} ∩ {3,4,5,6,7}={3,5}
(B ∩ C)= {2,4,6} ∩ {3,4,5,6,7}={4,6}
∴ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)= {3,5} ∪ {4,6}={3,4,5,6}
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

ঘ) (A ∩ B) ∪ C=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
বামপক্ষ=(A ∩ B) ∪ C
যেখানে, A ∩ B={1,3,5} ∩ {2,4,6}={}
∴ (A ∩ B) ∪ C ={} ∪ {3,4,5,6,7}={3,4,5,6,7}
ডানপক্ষ=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
যেখানে, (A ∪ C)= {1,3,5}∪{3,4,5,6,7}={1,3,4,5,6,7}
(B ∪ C)={2,4,6} ∪ {3,4,5,6,7}={2,3,4,5,6,7}
∴ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)= {1,3,4,5,6,7} ∩ {2,3,4,5,6,7}={3,4,5,6,7}
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

৫. Q={x,y} এবং R={m,n,l} হলে, P(Q) এবং P(R) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

Q={x,y}
∴P(Q)={{x,y),{x},{y},∅}
এবং,
R={m,n,l}
∴ P(R)={{m,n,l},{m,n},{m,l},{n,l},{m},{n},{l},{∅}}

৬. A={a,b}, B={a,b,c} এবং C=A ∪ Bহলে, দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ ,যেখানে n হচ্ছে C এর উপাদান সংখ্যা।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={a,b}, B={a,b,c} এবং C=A ∪ B
C=A ∪ B={a,b}∪{a,b,c}={a,b,c} এর উপাদান সংখ্যা 3 বা n
P(C)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},∅}এর উপ্পাদান সংখ্যা 8 বা 2³ বা 2ⁿ (দেখানো হলো)

৭.

ক) (x-1,y+2)=(y-2,2x+1) হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, (x-1,y+2)=(y-2,2x+1)
ক্রমজোড় নীতি থেকে পাই,
x-1=y-2……………(a)
y+2=2x+1…………(b)
(a).. হতে,
x-1=y-2
বা, x=y-2+1
বা, x=y-1———-(c)
x এর মান (b) তে বসাই,
y+2=2(y-1)+1
বা, y+2=2y-2+1
বা, y+2=2y-1
বা, y-2y=-1-2
বা, -2y=-3
বা, y=3
y=3, (c) এ বসাই,
x=3-1=2
∴ (x,y)=(2,3)

খ) (ax-cy, a²-c²)=(0,ay-cx) হলে (x,y) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক্রমজোড় নীতি থেকে,
ax-cy=0…………..1
a²-c²= ay-cx ……….2
এখন,
ax-cy=0
বা, ax=cy
বা, x=cy/a এই মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
a²-c²= ay-c✕(cy/a)
বা, a²-c²=ay-c²y/a
বা, a²-c²=(a²y-c²y)/a
বা, a²-c²=y(a²-c²)/a
বা, 1=y/a
বা, a=y
বা, y=a এই মান (1) নং এ বসাই,
ax-ca=0
বা, ax=ca
বা, x=ca/a
বা, x=c
∴ (x,y)=(c,a)

গ) (6x-y,13)=(1,3x+2y) হলে, (x,y) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক্রমজোড় নীতি থেকে,
6x-y=1…………..(1)
3x+2y=13…………..(2)
(1) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই..
12x-2y=2……………..(3)
(2)+(3) করে পাই,
15x=15
বা, x=15/15
বা, x=1 এই মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
6✕1-y=1
বা, 6-y=1
বা, -y=1-6
বা, -y=-5
বা, y=5
∴ (x,y)=(1,5)

[ বি:দ্র: উত্তর দাতা ইসমাইল হোসেন ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (ওয়ান সেকেন্ড স্কুল )]

৮.

ক) P={a}, Q={b,c} হলে, P✕Q এবং Q✕P নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, P={a}, Q={b,c}
তাহলে,
P✕Q={a}✕{b,c}={(a,b),(a,c)}
Q✕P={b,c}✕({a}={(b,a),(c,a)}

খ) A={3,4,5}, B={4,5,6} এবং C={x,y} হলে, (A ∩ B)✕C নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={3,4,5}, B={4,5,6} এবং C={x,y}
∴ (A ∩ B)= {3,4,5} ∩ {4,5,6}={4,5}
∴ (A ∩ B)✕C={4,5}✕{x,y}={(4,x),(4,y),(5,x),(5,y)}

গ) P={3,5,7}, Q={5,7} এবং R=P\Q হলে, (P ∪ Q)✕R নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, P={3,5,7}, Q={5,7} এবং R=P\Q
∴ R=P\Q={3,5,7}\{5,7}={3}
এবং, P ∪ Q={3,5,7}∪{5,7}={3,5,7}
∴(P ∪ Q)✕R={3,5,7}✕{3}={(3,3),(5,3),(7,3)}

৯. A ও B যথাক্রমে 35 এবং 45 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, A ∪ B ও A ∩ Bনির্ণয় কর।

সমাধানঃ

35 এর গুণনীয়ককের উপাদাঙ্গুলো হলোঃ 1,5,7
45 এর গুণনীয়ককের উপাদাঙ্গুলো হলোঃ 3,5,9,15,45
∴A={1,5,7}, B={1,3,5,9,15,45}
∴ A ∪ B={1,5,7} ∪ {1,3,5,9,15,45}={1,3,5,7,9,15,35,45}
A ∩ B={1,5,7} ∩ {1,3,5,9,15,45}={1,5}

১০. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, এদের সেট নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাগুলো 31 অপেক্ষা বড় এবং সে সংখ্যাগুলো দ্বারা (346-31)=315 এবং (556-31)=525 বিভাজ্য হবে বা, সংখ্যাগুলো 315 ও 525 এর সাধারন গুণনীয়ক।
মনে করি, 31অপেক্ষা বড় 315 এর গুণনীয়কগুলোর সেট A
এবং 31 অপেক্ষা বড় 525 এর গুণনীয়কগুলোর সেট B
তাহলে,
A={35,105,315}
B={35,75,105,175,525}
∴A ∩ B = {35,105,315} ∩ {35,75,105,175,525}={35,105}

১১. কোনো শ্রেণির 30 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে। দুটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না তা ভেন চিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি, ফুটবল ও ক্রিকেট খেলে পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থীদের সেট যথাক্রমে F ও C.

ভেনচিত্রে, আয়তাকার ক্ষেত্রটি দ্বারা 30 জন শিক্ষার্থীর সেট S এবং পরস্পরছেদী দুইটি বৃত্ত ক্ষেত্র দ্বারা F ও C নির্দেশ করা হলো।

তাহলে,
প্রশ্নানুসারে,
n(S)=30
n(F)=20
n(C)=15
n(C ∩ F)=10
কোনো খেলাই পছন্দ করে না এরুপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা
=n(S)-n(C ∪ F)
এখন,
n(C ∪ F
=n(C)+n(F)- n(C ∩ F)
=15+20-10
=35-10
=25
∴ n(S)-n(C ∪ F)=30-25=5
∴কোনো খেলাই পছন্দ করে না এরুপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 5 জন।

১২. 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 65 শিক্ষার্থী বাংলায়, 48 শিক্ষার্থী বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাশ এবং 15 শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

ক) সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ ওপরের তথ্যগুলো ভেনচিত্রে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

মনে করি সার্বিক সেট U
বাংলায় পরীক্ষার্থীদের সেট B
ইংরেজিতে পরীক্ষার্থীদের সেট E

যেখানে, n(U)=100, n(B)=65, n(B ∩ E)=48 এবং n(B ∪ E)=15.

খ) শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাশ করেছে তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি, n(B ∪ C)=n(U)-n(B ∪ E)=100-15=85
আবার,
n(B ∪ E)=n(B)+n(E)-n(B ∩ E)
বা, 85=65+n(E)-48
বা, 85-65+48=n(E)
বা, n(E)=68
শুধু বাংলায় পাশ করেছে=n(B)-n(B ∩ E)=65-48=17
শুধু ইংরেজিতে পাশ করেছে=n(E)-n(B ∩ E)=68-48=20

 

গ) উভয় বিষয়ে পাশ এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 48=2✕2✕2✕2✕3
এবং
উভয় বিষয়ে ফেল শিক্ষার্থীর সংখ্যা 15=5✕3
এখন, উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীর সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কের সেট M
এবং উভয় বিষয়ে ফেল শিক্ষার্থীর সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কের সেট N হলে,
M={2,3}
N={5,3}
তাহলে, MN={2,3}{5,3}={2,3,5}
অতএব, নির্ণেয় সেট {2,3,5}

 

এতক্ষন আমাদের সাথে থাকার জন্য ধন্যবাদ!

আমাদের ইউটিউব চ্যানেলে সব সমাধান গুলো এখনি দেখে নাও!