গণিতের সূত্রাবলী
গণিতের সূত্রাবলী: গণিতের সূত্রাবলী হল এমন কিছু নিয়ম বা পদ্ধতি যা গণনার ক্ষেত্রে আমাদের সমস্যাগুলোর সমাধানে সাহায্য করে। প্রতিদিনের জীবনে গণিতের ভূমিকা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, এবং এই সূত্রগুলোর সঠিক প্রয়োগ জানলে আপনি জটিল গণিত সমস্যা সহজেই সমাধান করতে পারবেন। এই পোস্টে আমরা কিছু গুরুত্বপূর্ণ গণিতের সূত্রাবলী নিয়ে আলোচনা করব, যা স্কুল বা প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় আপনার জন্য সহায়ক হবে।
বর্গের সূত্র সমূহ
গণিতের সকল সূত্র :- সূত্র ছাড়া বীজগণিতে সমস্যার সমাধান করা সম্ভব নয়। ছাত্র-ছাত্রী দের প্রয়োজনের দিক বিবেচনা করে আমাদের এই প্রচেষ্টা। আশাকরি এই পাঠে বর্গ সম্পর্কিত সমস্যাবলী সমাধান করতে পারবো।
বীজগণিতে সূত্রের গুরুত্ত অপরিসীম। সূত্রের সাহায্যে গণিতের সমাধান করতে হলে একটা বিষয় মাথায় রাখা প্রয়োজন যে a=১ম পদ, b=২য় পদ এবং c=৩য় পদ ধরে বীজগণিতের সমাধান করতে হবে। বীজগণিতে কোন সমস্যার সমাধান করার জন্য অবশ্যই সূত্র ভালোভাবে আয়ত্তে আনার পাশাপাশি মানের দিকে খেয়াল রাখতে হবে। মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সূত্রের প্রয়োগ ঠিক মান অনুযায়ী করতে হবে।
borger sutro ও প্রয়োগঃ
নিম্নে বর্গের ক্ষেত্রে ব্যবহার যোগ্য কিছু সূত্র এমন ভাবে উপস্থাপন করা হল যা সকলকে সহজে বুঝতে সাহায্য করবে যে, সূত্রটি কোন ক্ষেত্রে প্রয়োগ করতে হবে।
- সুত্র-১
a²+b²=(a+b)²-2ab (মান প্লাস থাকলে)
a²+b²=(a-b)²+2ab (মান মাইনাস থাকলে)
a²+b²={(a+b)²+(a-b)²}÷2 (মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-২
a²-b²=(a+b)(a-b) (উৎপাদকের ক্ষেত্রে, সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে এবং মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৩
(a+b)²=a²+2ab+b² (বর্গের ক্ষেত্রে)
(a+b)²=(a-b)²+4ab (মান মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৪
(a-b)²=a²-2ab+b² (বর্গের ক্ষেত্রে)
(a-b)²=(a+b)²-4ab (মান প্লাস থাকলে)
- সূত্র-৫
2a²+2b² বা 2(a²+b²)=(a+b)²+(a-b)² (মান প্লাস মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৬
ab={(a+b)÷2}²-{(a-b)÷2}² (মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে এবং দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশের ক্ষেত্রে)
ab={(a+b)²-(a-b)²}÷4 (মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৭
4ab=(a+b)²-(a-b)² (মান প্লাস ও মাইনাস থাকলে)
- সূত্র-৮
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca (৩টি পদের বর্গের ক্ষেত্রে)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) (৩টি পদের বর্গের ক্ষেত্রে)
অংকের সূত্র
- সূত্র-৯
(a+b)(a+c)=a²+(b+c)a+bc (সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে)
- সূত্র-১০
(a+b)(a-c)=a²+(b-c)a-bc (সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে)
- সূত্র-১১
(a-b)(a+c)=a²-(b-c)a-bc (সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে)
- সূত্র-১২
(a-b)(a-c)=a²-(b+c)a+bc (সূত্রের সাহায্যে গুনের ক্ষেত্রে)
সূত্র সম্পর্কিত একটি বিশেষ ব্যপার সকলকে অবশ্যই মনে রাখতে হবে সেটা হল, বর্গক্ষেত্র সম্পর্কিত ধারনা। বর্গ বা বর্গ ক্ষেত্র বলতে আমরা সাধারন্ত সেই চতুর্ভুজ কে বুঝি যার প্রত্যেকটি বাহু সমান এবং কোন গুলো সমকোন বা ৯০°। যেহেতু বর্গের প্রত্যেকটি বাহু সমান এবং কোন গুলো সমকোন তাই বর্গ কে একটি আয়ত বলা চলে। আয়ত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল সন্নিহিত বাহু দুটির বা দৈর্ঘ ও প্রস্থের গুন ফল। বর্গের প্রতিটি বাহু সমান বলে, একটি বাহু a ধরলে সন্নিহিত বাহুটিও a হবে। সুতারং ক্ষেত্রফল দাড়াবে a গুন a = a² বা a এর বর্গ। তাই বর্গ বলতে কোন সংখ্যার উপর স্কয়ার বা বর্গ বুঝায়।
বর্গ নির্ণয়ের সূত্র
১. সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় করঃ
ক) 2a+3b
সমাধানঃ
2a+3b এর বর্গ
=(2a+3b)2
=(2a)2+2.2a.3b+(3b)2
=4a2+12ab+9b2
খ) x2+2/y2
সমাধানঃ
x2+2/y2 এর বর্গ
=( x2+2/y2)2
=(x2)2+2.x2.2/y2+(2/y2)2
=x4+4x2/y2+4/y2
গ) 4y-5x
সমাধানঃ
4y-5x এর বর্গ
=(4y-5x)2
=(4y)2-2.4y.5x+(5x)2
=16y2-40xy+25x2
ঘ) 5x2-y
সমাধানঃ
5x2-y এর বর্গ
=(5x2-y)2
=(5x2)2-2.5x2.y+y2
=25x4-10x2y+y2
ঙ) 3b-5c-2a
সমাধানঃ
3b-5c-2a এর বর্গ
=(3b-5c-2a)2
={(3b-5c)-2a}2
=(3b-5c)2-2.(3b-5c).2a+(2a)2
=(3b)2-2.3b.5c+(5c)2-(6b+10c).2a+4a2
=9b2-30bc+25c2-12ab-20ac+4a2
চ) ax-by-cz
সমাধানঃ
ax-by-cz এর বর্গ
=( ax-by-cz)2
={(ax-by)-cz}2
=(ax-by)2-2.(ax-by).cz+(cz)2
=(ax)2-2.ax.by+(by)2-2axcz+2bycz+c2z2
=a2x2-2axby+b2y2-2axcz+2bycz+c2z2
ছ) 2a+3x-2y-5z
সমাধানঃ
2a+3x-2y-5z এর বর্গ
=(2a+3x-2y-5z)2
={(2a+3x)-(2y+5z)}2
=(2a+3x)2-2.(2a+3x).(2y+5z)+(2y+5z)2
= (2a)2+2.2a.3x+(3x)2-2.(4ay+6xy+10az+15xz+(2y)2+2.2y.5z+(5z)2
=4a2+12ax+9x2-8ay-12xy-20az-30xz+4y2+20yz+25z2
জ) 1007
সমাধানঃ
1007 এর বর্গ
=(1000+7)2
=(1000)2+2.1000.7+(7)2
=1000000+14000+49
=1014049
২. সরল করঃ
ক) (7p+3q-5r)2-2(7p+3q-5r)(8p-4q-5r)+(8pp-4q-5r)2
সমাধানঃ
ধরি, 7p+3q-5r=a
এবং, 8p-4q-5r=b
∴প্রদত্ত রাশি
=a2-2.a.b+b2
=(a-b)2
={(7p+3q-5r)-(8p-4q-5r)}2 [মান বসিয়ে]
=(7p+3q-5r-8p+4q+5r)2
=(7q-p)2
=(7q)2-2.7q.p+(p)2
=49q2-14pq+p2
খ) (2m+3n-p)2+(2m-3n+p)2-2(2m+3n-p)(2m-3n+p)
সমাধানঃ
মনে করি, a=2m+3n-p
এবং b=2m-3n+p
প্রদত্ত রাশি
=a2+b2-2.a.b
=(a-b)2
={(2m+3n-p)-(2m-3n+p)}2 [মান বসিয়ে]
=(2m+3n-p-2m+3n-p)2
=(6n-2p)2
=(6n)2-2.6n.2p+(2p)2
=36n2-24np+4p2
গ) 6.35✕6.35+2✕6.35✕3.65+3.65✕3.65
সমাধানঃ
6.35✕6.35+2✕6.35✕3.65+3.65✕3.65
=(6.35)2+2✕6.35✕3.65+(3.65)2
=(6.35+3.65)2
=(10)2
=100
৩. a-b=4 এবং ab=60 হলে, a+b এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a-b=4 এবং ab=60
আমরা জানি,
(a+b)2=(a-b)2+4ab
বা, (a+b)2=42+4✕60
বা, (a+b)2=16+240 [মান বসিয়ে]
=>, (a+b)2=256
=>, a+b=±√256
বা, a+b=±16
৪. a+b=9m এবং ab=18m2 হলে, a-b এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a+b=9m এবং ab=18m2
আমরা জানি,
(a-b)2
=(a+b)2-4ab
=(9m)2-4✕18m2 [মান বসিয়ে]
=81m2-72m2
=9m2
∴(a-b)= ±√9m2=±3m
৫. x-1/x=4 হলে, প্রমান কর যে, x4+1/x4=322.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
x-1/x=4
বা, (x-1/x)2=42
বা, x2-2.x.1/x+(1/x)2=16
=> x2-2+1/x2=16
=>, x2+1/x2=16+2
বা, x2+1/x2=18
বা, (x2+1/x2)2=(18)2
=> (x2)2+2.x2.1/x2+(1/x2)2=324
বা, x4+2+1/x4=324
=> x4+1/x4=324-2
বা, x4+1/x4=322 (প্রমাণিত)
৬. 2x+2/x=3 হলে, x2+1/x2 এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2x+2/x=3
বা, 2(x+1/x)=3
=> x+1/x=3/2
বা, (x+1/x)2=(3/2)2
=> x2+2.x.1/x+(1/x)2=9/4 (বর্গ করে)
বা, x2+1/x2+2=9/4
=> x2+1/x2=9/4-2
বা, x2+1/x2=(9-8)/4
বা, x2+1/x2=1/4
[ বি:দ্র: উত্তর দাতা ইসমাইল হোসেন ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (ওয়ান সেকেন্ড স্কুল )]
৭. a+1/a=2 হলে, দেখাও যে, a2+1/a2=a4+1/a4
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
a+1/a=2
বা, (a2+1)/a=2
বা, a2+1=2a
=> a2-2a+1=0
বা, (a-1)2=0
=> a-1=0
বা, a=1
এখন,
বামপক্ষ= a2+1/a2=12+1/12=2
ডানপক্ষ= a4+1/a4=14+1/14=2
∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
৮. a+b=√7 এবং a-b=√5 হলে, প্রমাণ কর যে, 8ab(a2+b2)=24.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a+b=√7 এবং a-b=√5
বামপক্ষ
=8ab(a2+b2)
=4ab✕2(a2+b2)
={(a+b)2-(a-b)2}{{(a+b)2+(a-b)2} [অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করে]
={(√7)2-(√5)2}{(√7)2+(√5)2}
=(7-5)(7+5)
=2✕12
=24
=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
৯. a+b+c=9 এবং ab+bc+ca=31 হলে, a2+b2+c2 এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a+b+c=9 এবং ab+bc+ca=31
আমরা জানি,
a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
=92-2.31 [মান বসিয়ে]
=81-62
=19
১০. a2+b2+c2 =9 এবং ab+bc+ca=8 হলে, (a+b+c)2 এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a2+b2+c2 =9 এবং ab+bc+ca=8
আমরা জানি,
(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=9+2.8 [মান বসিয়ে]
=9+16
=25
১১. a+b+c=6 এবং a2+b2+c2 =14 হলে, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2= কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a+b+c=6 এবং a2+b2+c2 =14
এখন,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2
=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+c2
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca
=2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)
=2(a2+b2+c2)+( a2+b2+c2)-(a+b+c)2 [a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)]
=2*14+14-62
=28+14-36
=42-36
=6
১২. x=3, y=4 এবং z=5 হলে,9x2+16y2+4z2-24xy-16yz+12zx= কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, x=3, y=4 এবং z=5
এখন,
9x2+16y2+4z2-24xy-16yz+12zx
=(3x)2+(-4y)2+(2z)2+2.3x(-4y)+2.(-4y).2z+2.2z.3x
={3x+(-4y)+2z}2
=(3x-4y+2z)2
=(3.3-4.4+2.5)2
=(9-16+10)2
=32
=9
১৪. x2+10x+24 কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরুপে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
x2+10x+24
=x2+2.x.5+52-1
=(x+5)2-12 [এটিই দুইটি বর্গের বিয়োগফল]
১৫. a4+a2b2+b4=8 এবং a2+ab+b2=4 হলে, ক) a2+b2, খ) ab এর মান কত?
সমাধানঃ
(ক)
দেওয়া আছে,
a4+a2b2+b4=8 ………….(1)
a2+ab+b2=4 ……………..(2)
(1)….হতে,
a4+a2b2+b4=8
বা, (a2)2+2.a2.b2+(b2)2-a2b2=8
=> (a2+b2)2-(ab)2=8
বা, (a2+b2+ab)(a2+b2-ab)=8
=> 4(a2+b2-ab)=8
=>a2+b2-ab=8/4=2……………..(3)
(2)+(3) করে পাই,
2a2+2b2=4+2
বা, a2+b2=6/2
বা, a2+b2=3
(খ)
(2)-(3) করে পাই,
2ab=4-2
বা, ab=2/2
বা, ab=1
সূত্রগুলো আয়ত্তে আনলে আশাকরি সহজে সমস্যার সমাধান করতে পারবেন। অন্যান্য সূত্র পেতে নিজ নিজ ক্লাস অপশনে ক্লিক করে জেনে নিবেন।
ত্রিকোণমিতির সকল সূত্র
ত্রিকোণমিতি কোণ এবং ত্রিভুজের বাহুগুলোর সম্পর্ক নিয়ে কাজ করে। এটি অনেক ক্ষেত্রেই গুরুত্বপূর্ণ, বিশেষত প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায়।
- সাইন সূত্র: sinθ=লম্বআধার\sin \theta = \frac{লম্ব}{আধার}
- কোসাইন সূত্র: cosθ=আধারভূমি\cos \theta = \frac{আধার}{ভূমি}
- ট্যানজেন্ট সূত্র: tanθ=লম্বভূমি\tan \theta = \frac{লম্ব}{ভূমি}
পরিমিতির সকল সূত্র ও পরিসংখ্যানের সূত্রাবলী
পরিমিতি বিভিন্ন আকারের পরিমাপ এবং হিসাবের জন্য ব্যবহৃত হয়, এবং পরিসংখ্যান ডেটা বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত হয়।
- আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল: দৈর্ঘ্য×প্রস্থদৈর্ঘ্য \times প্রস্থ
- গড়: গড়=সমস্তমানেরযোগফলমোটমানেরসংখ্যাগড় = \frac{সমস্ত মানের যোগফল}{মোট মানের সংখ্যা}
পাটিগণিতের সূত্রাবলী
গণিতের প্রাথমিক ধাপ হিসেবে পাটিগণিত খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এখানে কিছু সহজ কিন্তু প্রয়োজনীয় সূত্র:
- গণিতের গড় সূত্র: গড়=Σxnগড় = \frac{\Sigma x}{n}
- গুণফলের সূত্র: গুণফল=সংখ্যা১×সংখ্যা২গুণফল = সংখ্যা_১ \times সংখ্যা_২
উপসংহার
গণিতের সূত্রাবলী দ্রুত এবং সহজে সমস্যা সমাধানের একটি মাধ্যম। যদি আপনি এই সূত্রগুলো ভালোভাবে আয়ত্ত করেন, তাহলে গণিত আপনার জন্য অনেক সহজ হয়ে যাবে। প্রতিদিনের সমস্যাগুলোতে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিতে এই সূত্রগুলো কাজে লাগানোর চেষ্টা করুন।
গণিতের জটিলতা কমিয়ে এনে আপনি সহজে সাফল্যের পথে এগিয়ে যেতে পারেন যদি সঠিকভাবে সূত্রাবলী প্রয়োগ করেন!
আপনার কোন মতামত বা পরামর্শ থাকলে আমাদের লিখে জানাতে পারেন। বর্গ সম্পর্কে কোন প্রশ্ন বা মতামত থাকলে কমেন্ট বক্সে লিখে জানাতে ভুলবেন না। আমাদের Facebook পেজে যেতে এখানে ক্লিক করুন।