সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ

সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ : বীজগাণিতিক রাশি/রাশি – চলক ও প্রক্রিয়া চিহ্নের অর্থবোধক সংযোগ বা বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বা সংক্ষেপে রাশি বলে।
যেমন: 5x+6y, 2a-3b

* বীজগাণিতিক রাশির যে অংশ যোগ(+) বা বিয়োগ(-) চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত থাকে তাদের প্রত্যেকটিকে পদ বলে।
উপর্যুক্ত রাশিতে 5x,6y,2a,3b এক একটি পদ।

★ চলক: কোনো রাশির পরিবর্তনশীল মানকে চলক বলে।
যেমন: a,b,c,x,y,z….. চলক।

★ ধ্রুবক : কোনো রাশির অপরিবর্তনশীল মানকে ধ্রুবক বলে।
যেমন: 1,2,3…….ধ্রুবক।

★ সহগ: চলরাশির সাথে যে সকল অক্ষর বা সংখ্যা গুণ হিসেবে থাকে তাকে সহগ বলে।

* সহগ 2 প্রকার-
(i). আক্ষরিক সহগ
(ii). সাংখ্যিক সহগ

আরও পড়ুন:

সূচক ও লগারিদম সব ধরনের অংক দেখুন খুব সহজ নিয়মে

* আক্ষরিক সহগ : চলরাশির সাথে কোনো অক্ষর গুণ হিসেবে থাকলে তাকে আক্ষরিক সহগ বলে।
যেমন: ax2+bx+c=0 সমীকরণে x2 এর সহগ ‘a’ যা একটি আক্ষরিক সহগ।

* সাংখ্যিক সহগ: চলরাশির সাথে কোনো সংখ্যা গুণ হিসেবে থাকলে তাকে সাংখ্যিক সহগ বলে।
যেমন: 6×2+x-1=0 সমীকরণে x2 এর সহগ ‘6’ যা একটি সাংখ্যিক সহগ।

★ সমীকরণ: সাধারণত দুইটি রাশির মধ্যে সমান চিহ্ন দ্বারা গঠিত সম্পর্ককে সমীকরণ বলে।
যেমন: 3x+2y=6

* সমীকরণে কমপক্ষে 1 টি চলক থাকবে।

★ সমীকরণের বীজ: কোনো সমীকরণের অজানা চলকের প্রাপ্ত মানকে সমীকরণের বীজ বলে।
যেমন: 2x-6=0 সমীকরণে চলক x এর প্রাপ্ত মান ‘3’ যা প্রদত্ত সমীকরণের বীজ।

★ সরল সমীকরণ : চলকের একঘাত বিশিষ্ট সমীকরণকে সরল সমীকরণ বলে।
যেমন: 5x-3=7

★ দ্বিঘাত সমীকরণ: কোনো সমীকরণে চলক এর সর্বোচ্চ ঘাত দুই(2) হলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
যেমন: ax2+bx+c=0

* দ্বিঘাত সমীকরণের মূল 2 টি।

★ ax2+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক,
D= b2-4ca (পড়ুন: বি স্কয়ার মাইনাস ফোর সিএ)

★ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয়ের শর্তসমূহ:

(i). b2-4ca=0 হলে,মূলদ্বয় বাস্তব,মূলদ ও সমান হবে।

(ii). b2-4ca>0 হলে,মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।

(iii). b2-4ca<0 হলে,মূলদ্বয় জটিল ও অসমান হবে।

(iv). b2-4ca পূর্ণবর্গ হলে,মূলদ্বয় বাস্তব,মূলদ ও অসমান হবে।

(v). b2-4ca পূর্ণবর্গ না হলে,মূলদ্বয় বাস্তব,অমূলদ ও অসমান হবে।

দ্বিপদী সমীকরণ

অসমতা 

মনে করি একটি ক্লাসে ছাত্রের সংখ্যা 50 জন। অনেক সময় দেখা যায়, একদিনে ঐ ক্লাসের সবাই উপস্থিত থাকে না, আবার সবাই অনুপস্থিতও থাকে না। এখন একটি নির্দিষ্ট দিনে ঐ ক্লাসে উপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যা x হলে আমরা লিখতে পারি 0 < x < 50 ।

এভাবে “>” বা “<” চিহ্ন ব্যবহার করে অসমতার সমীকরণ প্রকাশ করা হয়ে থাকে।

বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে,

a > b যদি ও কেবল যদি ( a – b) ধনাত্মক অর্থাৎ ( a – b ) > 0

a < b যদি ও কেবল যদি ( a – b) ঋণাত্মক অর্থাৎ ( a – b ) < 0

১। অসমতার উভয় পাশে একই সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করলে অসমতার চিহ্নের পরিবর্তন হয় না।

২। অসমতার বামপক্ষ ও ডানপক্ষ রাশিকে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ অথবা ভাগ করলে অসমতার দিক পাল্টে যায়।

৩। ডানপক্ষকে বামপক্ষে এবং বামপক্ষকে ডানপক্ষে আনলে অসমতার দিক পাল্টে যায়।

৪। অসমতার ভগ্নাংশের লবকে হর এবং হরকে লব বানালে অসমতার চিহ্ন পাল্টে যায়।

অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন

ক) a > b ⇔ b < a

খ) a > b হলে, যেকোনো c এর জন্য,

a + c > b + c এবং a – c > b – c

গ) a > b হলে যেকোনো c এর জন্য,

ac > bc এবং যখন , c > 0

ac < bc এবং যখন, c < 0

সমস্যা- ০১: সমাধান কর- a ( x + b ) < c [ a ≠ 0 ]

সমাধান: a(x+b) < c

বা, ax + ab < c

বা, x < \frac{(c-ab)}{a}a(c−ab)​

সমস্যা – ০৩: যদি x > 0 এবং \sqrt{\frac{y}{x}}=xxy​​=x  হয় , তাহলে x এর সাপেক্ষে y কত?

সমাধান: \frac{y}{x}=x^2\\ \Rightarrow y=x^3\\ \therefore x=3\sqrt{y}xy​=x2⇒y=x3∴x=3y​

সমস্যা – ০৪: যদি x^3<x^2<xx3<x2<x হয় , x এর মান কত ?

যখন x এর মান সূচক আকারে কমতে থাকে তার মানে এটার মান ঋণাত্মক।

পরম মান বলতে কি বোঝায়

। । এই চিহ্নকে পরমমান বলা হয়। পরমমান যুক্ত সংখ্যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে। তাই যদি কোনো সংখ্যা বা ভগ্নাংশ পরমমান চিহ্নের ভেতরে থাকে তাহলে তাকে একবার ধনাত্মক এবং আরেকবার ঋণাত্মক ধরে দুই বার হিসেব করতে হয়।

পরমমানের ভেতরে ঋণাত্মক মান বসলে তা ধনাত্মক হয়ে যায়।

ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক মান

১। xy > 0 এভাবে দুটি সংখ্যার গুণফল 0 থেকে বড় হলে বুঝতে হবে দুটি সংখ্যাই ধনাত্মক অথবা দুটি সংখ্যাই ঋণাত্মক।

২। xy < 0 এভাবে দুইটি সংখ্যার গুণফল 0 থেকে ছোট হলে বুঝতে হবে একটি সংখ্যা ধনাত্মক অপরটি ঋণাত্মক।

৩। ডানপক্ষকে বামপক্ষে এবং বামপক্ষকে ডানপক্ষে আনলে অসমতার দিক পাল্টে যায়।

৪। তিনটি সংখ্যা থাকলে xyz > 0 থাকলে বুঝতে হবে যে সবগুলো ধনাত্মক।

ভগ্নাংশের অসমতা 

• কোনো ভগ্নাংশের বিপরীতকরণ করে সাধারণ সংখ্যায় পরিবর্তন করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।
• ভগ্নাংশ অসমতার বিপরীতকরণ করতে এক অংশের লবের সাথে অপর অংশের হর গুণ হয়।
• কোনো ভগ্নাংশকে বর্গ করলে তা ছোট হয়ে যায় এবং বর্গমূল করলে তা বড় হয়।

পরমমান থেকে অসমতা সমাধান 

সমাধান করুন । x -3। < 5

• 2 < x < 8
• -2 < x < 8
• – 8 < x < -2
• – 4 < x < 2

সমাধান: ।x -3। এটা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক ও হতে পারে।

x – 3 ধনাত্মক হলে, $x-3<5\Rightarrow x<8$

আবার, x -3 ঋণাত্নক হলে, $-(x-3)<5\Rightarrow x>-5+3\Rightarrow x>-2\therefore -2<x<8$

পরমমান তৈরি করা

• প্রথমে অসমতার দুই পাশের সংখ্যা যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করে গড় বের করতে হবে।
• গড়কে অসমতার দুই পাশের সংখ্যার সাথে বিয়োগ করে দুই পাশে একই মান বের করতে হয়। এভাবেই পরমমান বানানো যায়

পরমমান থেকে অসমতা সমাধান 

পরমমানে প্রকাশ করুন: 3 < x < 5

• । x + 4 । < 1
• । x -3 । < 1
• । x – 4। < 1
• । x + 4 । < 1

সমাধান:

3+5= 8, 8/2= 4

3- 4 < x – 4 < 5-4 বা, -1 < x-4  < 1

সুতরাং । x – 4। < 1

 

সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ বিভিন্ন পরীক্ষায় আসা এমসিকিউ

সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ